1、欧拉公式

e是自然对数的底，i是虚数单位。它将函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系

欧拉公式的证明：利用了无穷级数

（准确来说是麦克劳林级数（即泰勒级数在x=0处的展开），泰勒级数的证明可参考资料【1】，用了归纳法加上余项的极限来证明，此处简单的复习一下微积分的知识）

（这里再插入一下，一个函数可以多项式展开，可以三角函数展开，那么是不是也可以指数函数展开，那么这些展开函数作为基底函数，基底函数是有要求的吗？小波变换是不是就是选择不同的基底展开，从而跳出了短时傅里叶变换的束缚？）

在的展开式中，白x换成

特别的，当x = pi 时，有

它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来，非常的简洁、美妙。

2、复数的基本概念

复数最直观的理解就是旋转.

更重要的意义在于复数运算保留了二维信息【2】。

【与（x,y）表示不同的是，x，y仍然是基于同一个度量的，x，y值的区别是通过给它们的单位不同来赋予的

如果直接让值就能够表征不同的维度，就是虚数的一种表现了】

假如我让你计算3+5，虽然你可以轻松的计算出8，但是如果让你分解8你会有无数种分解的方法，3和5原始在各自维度上的信息被覆盖了。

但是计算3+5i的话，你依然可以分解出实部和虚部，就像上图那样。

基于以上两个理由，用复数来描述电场与磁场简直完美到爆棚！

我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外，一旦我们需要让任何一个场旋转90度，只要乘一个“i”就可以了.【2】

当然，更深入一些的解释是【3】：

引入复数的一个很"物理"的原因是因为对称性。复数本身可以看成R上的2维线性空间,在复数乘法下自然构成了一个同构于SO(2)的群. 

描述对称性的对称群在复数的代数结构上表示比较方便. 所以, 复数域这个代数结构（它的对称性）在物理表示中得到了应用。

其实, 还真的有引入比复数域更复杂的代数结构来研究比SO(2)更复杂的对称性问题的例子, 比如著名的四元数, 可以用来研究三维旋转问题(SO(3)群的表示).但是, 这些比复数域更复杂的代数结构一般来说其性质远没有复数域那么好, 比如四元数虽然是个除环, 但是不是域, 乘法不可交换.

这就说明了为什么物理中要引入复数域, 并且"止步"于复数域. 复数域上一些基本的对称群有自然的表示, 并且复数域的代数性质和分析性质都非常非常好, 所以物理学很自然地需要这个代数结构.

（原文的公式推导部分我看的也很懵，不过整体意思还是看懂了，关键词：对称性，代数结构。应该和描述对称性的群有关系，还有数域的概念）

复变函数直观示意图

（#Todo:这张图与拉普拉斯变换里的f(t)，F(s)有关系吗？）

3、从信号处理的角度理解拉普拉斯变换

1）从傅里叶变换说起

傅里叶变换能帮我们解决很多问题，一经问世后便受到广大工程师们的喜爱，因为它给人们提供了一扇不同的窗户来观察世界，从这个窗户来看，很多事情往往变得简单多了。但是，别忘了，傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行

狄利赫里条件为：

2）拉普拉斯变换的提出

傅里叶变换的严格条件，特别是那个绝对可积的条件，一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数 f = t^2 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于 ∞ 时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。

拉普拉斯变换

3）从几何图形上直观的表现

螺旋曲线

螺旋曲线和衰减函数的乘积：一个半径不断减小的螺旋曲线。从不同的平面看，就是不断衰减的正弦或者余弦曲线，从复平面来看，是一个半径不断减小的圆。

总结一下：总结一下：傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。

4、从数学投影角度来解释拉普拉斯变换

1）拉普拉斯变换的函数理解

原因如下：

{e^jw}表示复空间的正交基，这个还有点疑惑

这里解释了为什么使用拉普拉斯的变换形式会方便运算

2）拉普拉斯变换的具体计算

常用计算可以查表~

参考资料

【1】https://blog.csdn.net/weixin_40100502/article/details/80531027    泰勒公式的详细推导

【2】https://www.zhihu.com/question/23234701    复数的物理意义是什么？ Heinrich的回答

【3】https://www.zhihu.com/question/23234701    复数的物理意义是什么？ Octolet的回答（进阶版，从对称性角度考虑）

【4】https://zhuanlan.zhihu.com/p/40783304    从另一个角度看拉普拉斯变换

【5】https://zhuanlan.zhihu.com/p/23617272    【自动控制原理】1.传递函数

【6】https://wenku.baidu.com/view/6c522e81360cba1aa811da7d.html?from=search    复变函数-laplace变换（具体的简单的函数计算推导）