代码背后的简单数学原理(1)

问题

NTSIZEOF 宏,获取类型占用的空间长度,最小占用长度为int的整数倍:
#define _INTSIZEOF(n) ( (sizeof(n) + sizeof(int) - 1) & ~(sizeof(int) - 1) )

引子

问题1:假设有要把一批货物放到集装箱里,货物有12件,
一个箱子最多能装6件货物,求箱子的数目。
解答:显然我们需要12/6=2个箱子,并且每个箱子都是满的。

问题2: 把问题1的条件改一下,假设一个箱子最多能装5件货物,那么现在的箱子数是多少?
解答: 12/5=2.4个,但是根据实际情况,箱子的个数必须为整数,自然我们就要取3,
下面把问题一般化

问题3:设一个箱子最多可以装M件货物,且现有N件货物,
则至少需要多少个箱子,给出一般的计算公式。
这里要注意两点
1、箱子的总数必须为整数
2、N不一定大于M,很显然,即使N<=M,也需要一个箱子

通项公式

1、预备知识
在讨论问题3的解答之前,我们先明确一下/运算符的含义。
定义/运算为取整运算,即

对任意两个整数N,M,必然有且只有唯一的整数X,满足
X*M <= N < (X+1)*M,那么记N/M=X

这个也正是C语言里/运算的确切含义。以后如无额外说明,/运算的含义均和本处一致。

/运算有一个基本的性质

若N=MX+Y,则N/M=X+Y/M

注意:N不可以随便拆的,设N=A+B,那么一般情况下N/M 不一定等于 A/M+B/M,
如果A和B至少有一个是M的倍数,才能保证式子一定成立。

2、分步讨论
根据上面的/运算符的定义,我们可以得到问题3的解答,分情况讨论一下
已知N/M=X,那么当

  1. 当N正好是M的倍数时即N=M*X时,那么箱子数就是X=N/M
  2. 如果N不是M的倍数,即N=M*X+Y(1 <=Y<M)
    那么显然还要多一个箱子来装余下的Y件货物,
    则箱子总数为X+1 = (N/M)+1

3、一般公式
上面的解答虽然完整,但是用起来并不方便,因为每次都要去判断N和M的倍数关系,
我们自然就要想一个统一的公式。于是,下面的公式出现了

(N+M-1)/M

公式推导:

现在已经假定/运算的结果为取整(或者说取模),即
N/M=X,则XM<=N<(X+1)M
那么
1.当N=MX时,(N+M-1)/M=MX/M+(M-1)/M=X
2.当N=MX+Y(1 <=Y<M)
1 <=Y<M,两边同时加上M-1,得到M <= Y-1+M <= 2M-1 <2M
根据/运算的定义 (Y-1+M) /M = 1
所以
(N+M-1)/M = (MX+Y+M-1)/M = MX/M+(Y+M-1)/M= X+1 (1<=Y<M)

显然 公式(N+M-1)/M与2中的分步讨论结果一致。

问题解答

有了上面的数学基础,我们再来看看开头的问题

((sizeof(n)+sizeof(int)-1)&~(sizeof(int)-1))

这里,机器字长度sizeof(int)相当于箱子的容量M,变量的真实字节大小相当于货物总数N,整个代码就是求n所占的机器字数目。

这里解释一下
&~(sizeof(int)-1))
它用到了位运算的技巧,即若M是2的幂,M=power(2,Y)

N/M = N>>Y=(N&~(M-1))>>Y

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