4、基本图像变换

1、傅里叶变换

百科：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
傅里叶变换可分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
$f(x, y)\, 和 F(u, v)构成一对变换，如下：$
$f(x, y)\, \Leftrightarrow\, F(x,y)$
则有以下一些定理成立

1.1、平移定理

$f(x - a, y-b)\, \Leftrightarrow\, exp[-j2\pi\,(au + bv)]F(u,v)$
表明将f(x, y)在空间平移相当于把其变换在频域与一个指数项相乘。
$F(u - c, v-d)\, \Leftrightarrow\, exp[j2\pi\,(cx + dy)]f(x,y)$
表明将 $f(x, y)$ 在空间与一个指数项相乘相当于把其变换在频域平移

1.2、旋转定理

旋转定理反应了傅里叶变换的旋转性质。首先借助于极坐标变化 x=rcos $\theta$ ，y=rsin $\theta$ ，u=wcos $\phi$ ，v=wsin $\phi$ ，将 $f(x,y)$ 和 $F(u, v)$ 转换为 $f(r, \phi)$ 和 $F(w,\phi)$ 。直接将他们代入傅里叶变换对，得到( $\theta_0$ 为旋转角度):
$f(r, \theta + \theta_0)\Leftrightarrow\, F(w, \phi+\theta_0)$
上式表明，对 $f(x, y)$ 旋转 $\theta_0$ ，对应于将其傅里叶变换 $F(u, v)$ 也旋转 $\theta_0$ ，类似地对 $F(u, v)$ 旋转 $\theta_0$ 对应于将其傅里叶反变换 $f(x, y)$ 旋转 $\theta_0$

1.3、尺度定理

尺度定理也称为相似定理，它给出傅里叶变换在尺度（缩放）变化时的性质，可用下面两式表示（其中a,b均为标量）：
$af(x,y)\, \Leftrightarrow\,aF(u,v)$
$f(ax,by)\, \Leftrightarrow\,\frac{1}{|ab|}F(\frac{u}{a},\frac{v}{b})$
上式表明，对 $f(x,y)$ 在幅度方面的尺度变化导致对其傅里叶变换 $F(u,v)$ 在幅度方面对应的尺度变化，而对 $f(x,y)$ 在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换 $F(u,v)$ 在频域尺度方面的相反放缩，第二式表明对 $f(x,y)$ 的收缩 $(a>1,b>1)$ 不仅导致 $F(u,v)$ 的膨胀，而且会使 $F(u,v)$ 的幅度减小。

1.4、卷积定理

两个函数在空间的卷积与他们的傅里叶变换在频域的乘积构成一对变换，而两个函数在空间的乘积与它们的傅里叶变换在频域的卷积构成一对变换：
$f(x,y)\,\bigotimes\,g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F(u,v)G(u,v)$
$f(x,y)\,g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F(u,v)\,\bigotimes\,G(u,v)$

1.5、相关定理

两个函数在空间的相关与它们的傅里叶变换（其中一为其复共轭）在频域的乘积构成一对变换，而两个函数（其中一为其复共轭）在空间的乘积与它们的傅里叶变换在频域的相关构成一对变换：
$f(x,y)\,。g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F^*(u,v)G(u,v)$
$f^*(x,y)\,g(x,y)\,\Leftrightarrow\,F(u,v)\,。G(u,v)$

2、快速傅里叶变换（FFT：Fast Fourier Transformation）

傅里叶变换所需的计算量是很大。一般时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而FFT能 $O(n\log_2n)$ 的时间复杂度计算完成。

3、沃尔什-哈达玛变换

沃尔什-哈达玛变换（Walsh-Hadmard Transform,WHT），是一种典型的非正弦函数变换，采用正交直角函数作为基函数，具有与傅里叶函数类似的性质，图像数据越是均匀分布，经过沃尔什-哈达玛变换后的数据越是集中于矩阵的边角上，因此沃尔什变换具有能量集中的性质，把一个矩阵的非零元素压缩到只剩在边角上，可以用于压缩图像信息编码。哈达变换实际是将坐标轴旋转45°的正交变换。

哈达玛变换通常用于计算残差的SATD（Sum of Absolute Transformed Difference），即对残差信号进行哈达玛变换，然后计算变换后系数的绝对值的和。SATD相较于SAD更能反映残差在频域的大小。SATD通常用于率失真优化中，因为在率失真优化时如果对每个候选项都编码一遍然后计算失真则计算复杂度会非常高，所以一般使用残差的SATD估计其失真。
一阶二阶哈达玛矩阵定义为
$H_1= \begin{vmatrix} 1\\ \end{vmatrix}$
$H_2= \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&-1\\ \end{vmatrix}$
高阶哈达玛矩阵可由低阶的递推得到
$H_4= \begin{vmatrix} H_2&H_2\\ H_2&-H_2\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ \end{vmatrix}$
$H_N=H_{2^n}=H_2\bigotimes\,H_{2^{n-1}}= \begin{vmatrix} H_{2^{n-1}}&H_{2^{n-1}}\\ H_{2^{n-1}}&-H_{2^{n-1}}\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} H_{\frac{N}{2}}&H_{\frac{N}{2}}\\ H_{\frac{N}{2}}&-H_{\frac{N}{2}}\\ \end{vmatrix}$
哈达玛变换WHT就是使用哈达玛矩阵去乘原信号矩阵。
二维的WHT是要对原矩阵左乘一个对应阶的哈达玛矩阵，右边也乘一个，然后除以阶数平方即
$W_1=\frac{1}{4^2} \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&3&3&1\\ 1&3&3&1\\ 1&3&3&1\\ 1&3&3&1\\ \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&-1\\ 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&1\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2&0&0&-1\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ \end{vmatrix}$
哈达玛变换结果可视化例如下

沃尔什-哈达玛变换

4、离散余弦变换

离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）是可分离的变换，其变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外，它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。

4.1、定义

1、一维离散余弦变换和其反变换定义如下
$C(u)=a(u)\sum_{x=0}^{N-1} f(x)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}] \qquad u = 0,1...,N-1$
$f(x)=\sum_{u=0}^{N-1} a(u)C(u)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}] \qquad x = 0,1...,N-1$
其中 $a(u)$ 的值如下
$a(u)= \begin{cases} \sqrt {1/N} \qquad 当 u= 0\\ \sqrt {2/N} \qquad 当 u= 1,2...,N-1\\ \end{cases}$
1、二维离散余弦变换和其反变换定义如下
$C(u,v)=a(u)a(v)\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1} f(x,y)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}]cos[{\frac{(2y+1)v\pi}{2N}}] \qquad u,v = 0,1...,N-1$
$f(x,y)=\sum_{u=0}^{N-1} \sum_{v=0}^{N-1} a(u)a(v)C(u,v)cos[{\frac{(2x+1)u\pi}{2N}}] cos[{\frac{(2y+1)v\pi}{2N}}] \qquad x,y = 0,1...,N-1$

4.2、DCT在JPEG压缩编码中的应用

JPEG(Joint Photographic Experts Group) 专家组开发了两种基本的压缩算法，一种是采用以离散余弦变换(DCT)为基础的有损压缩算法，另一种是采用以预测技术为基础的无损压缩算法。使用有损压缩算法时，在压缩比为25:1的情况下，压缩后还原得到的图像与原始图像相比较，非图像专家难于找出它们之间的区别，因此得到了广泛的应用。

JPEG压缩编码

4.3、DCT在数字水印（digital watermarking）技术中的应用

数字水印技术是将特定的信息嵌入到数字信息的内容中,要求嵌入的信息不能被轻易的去除,在一定的条件下可以被提取出来,以确认作者的版权。
水印嵌入框图：

水印嵌入

水印检测框图：

水印检测

5、Radon变换

拉东变换是一个积分变换，它将定义在二维平面上的一个函数 f(x,y) 沿着平面上的任意一条直线做线积分，相当于对函数 f(x,y) 做 CT扫描。其基本应用是根据 CT 的透射光强重建出投影前的函数 f(x,y)，即拉东变换的反演问题。

最后编辑于：2023.07.15 10:57:08

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