1. 简介

参量阵扬声器（Parametric Array Loudspeaker, PAL, 此文简称参量阵），是一种利用介质的非线性声学效应来产生定向声波的声学系统。

声波波动方程

要了解参量阵所用到的非线性声学知识，还得从声波波动方程的推导看起。

声场的特征可以通过介质中的声压、质点振速或介质密度的变化量*来表示。通常显式使用较多的是声压，声压级即对测量声压与参考声压的比值取对数。声压在声波传播的过程中随着时间和空间的变化而变化，如果能知道这种变化关系便能清楚的知道声场中各个位置处的声压分布，而这种变化关系就是声波的波动方程。

声音（包括超声和次声）的传播，本质是介质振动的传播，而振动这一物理过程必定满足三个基本的物理定律，分别是牛顿第二定律、质量守恒定律和物态方程。实际的声场环境往往较为复杂，方程的推导总需要不同程度的假设条件，为阐释基本原理，这里假设（1）理想流体，无粘滞性（2）均匀媒质（3）绝热传播。在此条件下一维的三个基本方程分别可整理为：
描述胜场中声压与质点振速之间关系的运动方程

描述质点振速与密度之间关系的连续性方程

和描述压强的变化率与的变化率之间关系的物态方程
。

到这一步有了三个基本方程，但由于各个声学量之间都是非线性关系，还无法得到单一参量表示的声波波动方程，因此再引入一个假设条件，也是线性声学的基本假设，即（4）小振幅声波。在此假设下，声波的及其变化量都是微小量，此时便很大程度上可以忽略方程中更加微小的这些参量的二次及二次以上的项，进而联立三个方程消去其中两个参量，得到均匀理想流体中小振幅声波的波动方程
。
接着便可以通过达朗贝尔公式等方法得到方程的一般解，或者通常情况可以假设信号为某种形式的时谐信号代入求解。

非线性声学效应

上世纪60年代，Westervelt发现发射两个不同频率的超声波可以产生一个低频的可听声，该可听声波由两高频声波互调得到，为两者的差频。这就是介质非线性的一种表现，是不满足上面的波动方程的。原因就在于上面的第四个假设条件，我们假设为小振幅声波，故而舍弃了二阶及以上的项。而想要得到非线性解，就需要保留一定的非线性项，通常保留到二阶项。保留了二阶项后的基本方程相比于线性方程均会发生变化，最后得到的波动方程自然也随之改变。该部分推导相对复杂，简单理解就是二次项使得所有信号之间发生互调，从而产生一系列和频与差频声波。进一步，不考虑更高频段的信号，那些差频信号又在一定的区域内形成类似端射阵的虚拟声源，进而扩散形成完整的声波波束。

2. 基本原理

2.1 波束形状与指向

在参量阵理论中，目前一个准确度较高的理论模型为卷积模型，也是基于Westervelt指向性而来，通过卷积的形式联合了乘积指向性，表现为
，其中分别是两个超声波的指向性，是Westervelt指向性，后者是衰减系数与差频频率的函数，因此我们可以通过控制超声波的波束来控制最后差频波的波束（对应Berktay方程就是通过控制载波波束来控制解调波的波束）。

另外，参量阵的优点也在这里明显体现。由于超声波的波长要远小于声波波长，因此就阵列波束形成来说，其波束控制可以在更小的孔径内完成。举个例子，要形成一个1kHz、HPBW(半功率波束宽度)约12°的声音波束，使用常规全向扬声器需要约1.4m的阵列孔径，而参量阵只需要约8cm。更何况这都是基于远场的指向性预测，而前者的远场明显要远于后者。

所以，要控制参量阵的音频波束，就要控制其直接产生的超声波的波束。因此，可以通过对超声阵列做波束形成来调整其波束形状，以及通过添加延时线来改变波束指向。

2.2 脉冲密度调制

要给超声阵列添加延时线来控制转向，需要考虑到所使用的采样率能达到的转向精度，当采样率较低时，每个时钟对应的延时较大，无法精确转向。有许多种方法可以用来提高延时精度，其中有两种较容易实施的分别是分数时延法和PDM（Pulse Density Modulation）法，前者利用分数时延滤波器来对每一路信号进行非整数的延时，达到延时任意精度的效果，当然，这需要额外消耗一定的运算资源。而后一种方法，PDM，顾名思义，通过脉冲密度来存储信号信息i，因此仅需1bit的数据位。PDM本身也属于是量化位数为1bit时的Delta-Sigma调制，它通过提升采样频率来减少采样位数，在保证量化信噪比的前提下，将存储信号的数据位数降低至1bit。高采样率、单bit存储，自然地，它是一种很适于FPGA实现的一种方法。将信号通过PDM转换为单bit信号，由于该信号采样率的提升，直接添加整数延时即可实现较高精度的波束转向，本系统便采用的这种方法。

这里给出了一种简单的PAL信号处理框图，其中PDM部分采用了一个4阶的CRFF结构实现。事实上具体所需要的采样率和NTF（噪声传递函数）的设计可根据实际需要的延时精度以及能达到的信噪比，参考单bit的Delta-Sigma调制器设计方法进行设计。

3. 系统实现

这是完整实现的一套多通道的系统，这里先给出它的系统设计框图和对应的实物照片。

Ref

《声学基础》杜功焕 等

Wiki: 波动方程

Westervelt, P. J. (1963). Parametric acoustic array. The Journal of the Acoustical Society of America, 35(4), 535-537.

Berktay, H. (1965). Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications. Journal of Sound and Vibration, 2(4), 435-461.

W.-S. Gan, J. Yang, & T. Kamakura (2012). A review of parametric acoustic array in air. Applied Acoustics, 73(12), 1211-1219.

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