基本变换矩阵

点p = (p_{x}, p_{y},p_{z})

1 平移变换

  • 平移矩阵 T

T(t) = T(t_{x}, t_{y}, t_{z}) = \begin{bmatrix} 1&0 &0 &t_{x} \\ 0&1 &0 &t_{y} \\ 0&0 &1 &t_{z} \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}

  • 平移后的新点
    p^{'} = (p_{x} + t_{x},p_{y} + t_{y} ,p_{z} + t_{z})

2 旋转矩阵

  • 旋转矩阵用R_{x}(\phi)、R_{y}(\phi)、R_{z}(\phi) 分别表示

R_{x}(\phi) = \begin{bmatrix} 0&1 &0 &0 \\ 0&cos\phi &-sin\phi &0 \\ 0&sin\phi &cos\phi &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}

R_{y}(\phi) = \begin{bmatrix} cos\phi&0 &sin\phi &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ -sin\phi&0 &cos\phi &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}

R_{z}(\phi) = \begin{bmatrix} cos\phi&-sin\phi &0 &0 \\ sin\phi&cos\phi &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix}

  • 对一个绕任意轴旋转角度\phi的3*3旋转矩阵R来说，其对角元素之和是一个与坐标轴无关的常数，称为迹（Trace）

R_{i}(\phi) = \begin{bmatrix} \color{red}{c_{1}} &… &… &0 \\ …& \color{red}{c_{2}} &… &0 \\ …&… & \color{red}{c_{3}} &0 \\ 0&0 &0 &\color{red}{1} \end{bmatrix}

tr(R) = 1 + 2cos\phi

  • 旋转矩阵为正交矩阵，因此矩阵R的逆矩阵就等于它的装置矩阵，此类变换的任意数量级联也同样成立。此外，R_{i}^{-1} = R_{i}(-\phi)，也就是绕同一坐标轴相反方向旋转。

    绕一点旋转：某个物体绕z轴旋转\phi度，旋转中心是点p。
    整个变换过程X可用下面的公式表示：

X = T(p)R_{z}(\phi)T(-p)

3 缩放变换

  • 缩放矩阵S(s) = S(s_{x}, s_{y}, s_{z})可以使物体分别绕x、y、z轴以因子s_{x}、s_{y}、s_{z}进行放大或缩小。

S(s) = \begin{bmatrix} 5&0 &0 &0 \\ 0&5 &0 &0 \\ 0&0 &5 &0 \\ 0&0 &0 &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0 &0 &0 \\ 0&1 &0 &0 \\ 0&0 &1 &0 \\ 0&0 &0 &1/5 \end{bmatrix}

  如果对缩放矩阵s的一个或三个分量置负，就会产生一个反射矩阵（Reflective Matrix），或者镜像矩阵（Mirror Matrix）。如果其中两个缩放因子是-1，那么将会旋转180^{\circ}，反射矩阵将改变顶点序列，导致不正确的光照效果和裁剪。
  判定矩阵是否为反射形式，只需计算该矩阵的左上部3*3矩阵行列式的值，如果该值为负，那么该矩阵为反射矩阵。

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 人面猴
    序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
    沈念sama阅读 214,904评论 6赞 497
  • 死咒
    序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
    沈念sama阅读 91,581评论 3赞 389
  • 救了他两次的神仙让他今天三更去死
    文/潘晓璐 我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
    开封第一讲书人阅读 160,527评论 0赞 350
  • 道士缉凶录：失踪的卖姜人
    文/不坏的土叔 我叫张陵，是天一观的道长。 经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？ 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 57,463评论 1赞 288
  • 港岛之恋（遗憾婚礼）
    正文 为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
    茶点故事阅读 66,546评论 6赞 386
  • 恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
    文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着，像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上，一...
    开封第一讲书人阅读 50,572评论 1赞 293
  • 城市分裂传说
    那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。 笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播，决...
    沈念sama阅读 39,582评论 3赞 414
  • 双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
    文/苍兰香墨 我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
    开封第一讲书人阅读 38,330评论 0赞 270
  • 万荣杀人案实录
    序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
    沈念sama阅读 44,776评论 1赞 307
  • 护林员之死
    正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 37,087评论 2赞 330
  • 白月光启示录
    正文 我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 39,257评论 1赞 344
  • 活死人
    序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
    沈念sama阅读 34,923评论 5赞 338
  • 日本核电站爆炸内幕
    正文 年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
    茶点故事阅读 40,571评论 3赞 322
  • 男人毒药：我在死后第九天来索命
    文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 31,192评论 0赞 21
  • 一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
    文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 32,436评论 1赞 268
  • 情欲美人皮
    我被黑心中介骗来泰国打工， 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 47,145评论 2赞 366
  • 代替公主和亲
    正文 我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 44,127评论 2赞 352