这几天在听麻省理工Gilbert Strang教授的线性代数，其中讲到了高斯消元法等，又加上教授一直提及MATLAB运算思想，所以这个矩阵系列我将用C语言模拟实现MATLAB的内部计算（不一定对）
百科：在线性代数中， LU分解(LU Decomposition)是矩阵分解的一种，可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积（有时是它们和一个置换矩阵的乘积）。LU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。实现矩阵的LU分解。矩阵的三角分解又称LU分解，它是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解在本质上是高斯消元法的一种表达形式。实质上是将A通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。这正是所谓的杜尔里特算法：从下至上地对矩阵A做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。这类算法的复杂度一般在(三分之二的n三次方) 左右
注意：当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LU，且当L的对角元全为1时分解唯一
在MATLAB中是这样使用的LU函数使用语句：
Y = lu(A)
[L,U] = lu(A)
[L,U,P] = lu(A)
[L,U,P,Q] = lu(A)
[L,U,P,Q,R] = lu(A)
具体用c怎么实现的呢？当然你也可以用其他语言
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// main.c
// A=LU分解
//
// Created by 杨旭磊 on 16/4/4.
// Copyright © 2016年 杨旭磊. All rights reserved.
//
include <stdio.h>
/第一种方法直接解出方程的根/
//void solve(float l[][100],float u[][100],float b[],float x[],int n)
//{int i,j;
// float t,s1,s2;
// float y[100];
// for(i=1;i<=n;i++) /* 第一次回代过程开始 */
// {s1=0;
// for(j=1;j<i;j++)
// {
// t=-l[i][j];
// s1=s1+t*y[j];
// }
// y[i]=(b[i]+s1)/l[i][i]; }
// for(i=n;i>=1;i--) /* 第二次回代过程开始 */
// {
// s2=0;
// for(j=n;j>i;j--)
// {
// t=-u[i][j];
// s2=s2+t*x[j];
// }
// x[i]=(y[i]+s2)/u[i][i];
// }
//}
//
//void main()
//{float a[100][100],l[100][100],u[100][100],x[100],b[100];
// int i,j,n,r,k;
// float s1,s2;
// for(i=1;i<=99;i++)/将所有的数组置零，同时将L矩阵的对角值设为1/
// for(j=1;j<=99;j++)
// {
// l[i][j]=0,u[i][j]=0;
// if(j==i) l[i][j]=1;
// }
//
// printf ("input n:\n");/输入方程组的个数/
// scanf("%d",&n);
// printf ("input array A:\n");/读取原矩阵A/
// for(i=1;i<=n;i++)
// for(j=1;j<=n;j++)
// scanf("%f",&a[i][j]);
// printf ("input array B:\n");/读取列矩阵B/
// for(i=1;i<=n;i++)
// scanf("%f",&b[i]);
// for(r=1;r<=n;r++)/求解矩阵L和U/
// {
// for(i=r;i<=n;i++)
// {
// s1=0;
// for(k=1;k<=r-1;k++)
// s1=s1+l[r][k]*u[k][i];
// u[r][i]=a[r][i]-s1;
// }
// for(i=r+1;i<=n;i++)
// {s2=0;
// for(k=1;k<=r-1;k++)
// s2=s2+l[i][k]*u[k][r];
// l[i][r]=(a[i][r]-s2)/u[r][r];
// }
// }
// printf("array L:\n");/输出矩阵L/
// for(i=1;i<=n;i++)
// {
// for(j=1;j<=n;j++)
// printf("%7.3f ",l[i][j]);
// printf("\n");
// }
// printf("array U:\n");/输出矩阵U/
// for(i=1;i<=n;i++)
// {
// for(j=1;j<=n;j++)
// printf("%7.3f ",u[i][j]);
// printf("\n");
// }
// solve(l,u,b,x,n);
// printf("解为:\n");
// for(i=1;i<=n;i++)
// printf("x%d=%f\n",i,x[i]);
//}
/第二种方法,只提供思路，部分printf未写/
void main(){
int i,j,k,m,n,q,r,t,y;
float a[100][100],c[100][100],d[100][100],l[100][100],u[100][100];
scanf("%d",&n);
/输入矩阵A/
for (i = 1; i < n + 1; i++) {
printf("输入矩阵第%d行元素：%d\n",i);
for (j = 1; j < n +1; j++) {
scanf("%f",&a[i][j]);
}
}
/判断A的各阶顺序主子式（矩阵A下标kk）是否全大于0，若不成立进行LU分解/
for (t = 1, k = d[1][1];t < n + 1;t++) {
if (d[1][1]==0) { //判断矩阵第一行是否为0，若为0则不分解
break;
}else{
for (i = t + 1; i < n + 1; i++) { //进行第t次行优先的所有元素的消元
m = d[i][t]/d[t][t]; //计算行乘数
for (j = t + 1; j < n; j++) {
d[q][j] = d[q][j] - m*d[t][j]; //计算每次不为0的元素的值
m = 0; //将m归零
}
n = d[t+1][t+1]; //取主元n
k *= n; //计算各阶的顺序主子式
}
}
}
/若可分解，进行LU分解，l为单位下三角矩阵，u为上三角矩阵/
for (r = 2; r < n + 1; r++) { //控制u的行数（L的列数）
for (j = r; j < n + 1; j++) { //控制u的第r行的j列变化
int x = 0; //初始化中间变量x
for (k = 1; k < r; k++) {
x += l[i][k] * u[k][r]; //求元素之前对应的行和列的元素和
l[i][r] = (c[i][r]-y)/u[r][r]; //计算矩阵l的第r列元素
}
}
}
//可以用两个for打印你想看到的l或u矩阵，在WordPress写代码是在太压抑了，下面就不写了，参考第一种
}
