说到多边形的面积，我们不由自主地想到了最简单的长方形和正方形，那么它的面积公式是什么原理呢？我们现在假设不知道他们的面积公式，我们来求求看。测量物体的面积就要用到测量基准，我们把这个测量基准看成一平方厘米的小方块，我们用这些小方块做平移变换和拉伸变换：将面积为一平方厘米的测量基准先沿着宽向下平移2次，再沿着长向左平移4次，正好填满整个图形，一共平移过2×4=8次，面积为8平方厘米。用拉伸变化也很相似，将面积为一平方厘米的测量基准先沿着宽向下拉伸2次，再沿着长向左拉伸4次，正好填满整个图形，面积为2×4等于8平方厘米。所以由此推断出长方形的面积公式就是长城宽替换成字母就是s长=ab

在我们求长方形或正方形的面积是我们运用到了最简单的测量基准作为工具，但如果我们要求一个三角形的面积呢？三角形，就不是那么横平竖直的了，他有三条边，我们这时就不能用这样的测量基准作为工具，而是要用我们已经会的长方形和正方形作为工具。用图形的面积作为工具，就需要用到割补法。

我们将一个长方形或者正方形，沿着对角线切一刀，割成了两个完全相等的直角三角形，这时直角三角形的面积就是这个长方形面积的一半，长方形的面积公式是长✖️宽，那么长方形的长对应的这个三角形的底，长方形的宽对应着这个直角三角形的高，所以直角三角形的面积公式就是底✖️高÷2，写成字母就是s三角=ah÷2。

我们还可以利用直角三角形的面积公式，求出来任意三角形的面积公式，我们把一个直角三角形补一个和它等高，但不一定等底的另外一个直角三角形，两个直角相贴，拼成了一个任意三角形，我们可以分别求出来这两个直角三角形的面积再相加，如图，左边直角三角形面积是ah➗2，右边三角形的面积是bh ÷2，他们两个相加，再用乘法分配律可以得出（a+b）h÷2，而这里的a+b就是整个三角形的底，所以任意三角形的面积公式也是底✖️高÷2，如果文字替换成字母，就是三角=ah÷2。

利用三角形和长方形以及正方形，也能求出平行四边形的面积，平行四边形沿着一条高切成一个直角三角形和一个梯形，再把那个直角三角形补到梯形的左边，就补成了一个长方形或者正方形，这样我们就可以利用长✖️宽了，我们再回过头来，这里的长就是原来平行四边形的底，这里的宽就是原来平行四边形的高，所以平行四边形的面积公式就是底✖️高÷2，用字母表示就是s平行四边形=ah。

可以用另一种方法，我们把一个平行四边形割成两个完全一样的三角形，三角形的面积是底✖️高÷2，两个就是底✖️高÷2×2，我们现在发现÷2和✖️2相互抵消，剩下底✖️高，所以平行四边形的面积公式用字母表示就是S平行四边形=ah。还有我们可以用平行四边形推导出三角形的面积公式，平行四边形的面积是底✖️高，可以切成两个完全一样的三角形，这一个三角形的面积就是底✖️高➗2。

我们怎么求出梯形的面积呢？我们还可以利用平行四边形的面积公式，将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，求出来这个平行四边形的面积，再÷2就得出来的梯形的面积，这里平行四边形的底就是梯形的上底与下底的和，平行四边形的高是梯形的高，所以梯形的面积公式就是（上底+下底）✖️高÷2替换成字母就是（a+b）h➗2。

我觉得梯形和三角形的面积公式是可以互相转化的，举个例子，把梯形的上底逐渐缩小成一个点就变成了一个三角形，如果梯形的上底是A，下底是B，高是H，那这个三角形的上底就是0，下底也是b高还是h，面积就是（0+b）h➗2，也就是bh÷2。同样梯形和长方形的面积也是可以互相转化的，将梯形的上底拉伸成与下底相等的长度，用面积公式就是（a+a）h➗2，化简一下就是2ah÷2，也就是2a➗2✖️h，当然就是ah了。

现在已经有了长方形，正方形，平行四边形，梯形和三角形的面积公式了，可以求一些更复杂的图形比如一些不规则图形。如图，我们可以竖着割一刀，割成一个梯形和一个长方形，梯形的面积是（5+10）×（12-6）÷2，长方形的面积是5×6，它们两个相加，等于75平方厘米。还可以横着切一刀，切成一个三角形和一个长方形，三角形的面积是（12-6）×（10-5）÷2，长方形的面积是12×5，两个一相加等于75平方厘米，还可以用补的方式在右上角补一个梯形，大长方形的面积是12×10，梯形的面积是（6+12）×（10-5）÷2，拿大长方形的面积减梯形的面积，等于75平方厘米。

可能生活中有一些图形，我们用已经学过的工具也解决不了的，我们可以打格子做估算，比如下图这片叶子，我们用一平方厘米的格子作为测量基准，一种方法是先数内部完整的格子，再数没有填满的格子，把没有填满的格子的数量÷2，粗略的把两个半格合成一个整格，最后加上整合就是这个不规则图形的估算面积了，我们也可以沿着它的表面画一个近似它的图形，求出来这个图形的面积，就大约是这片叶子的面积了。

这就是多边形的面积，利用一个工具解锁另一个工具，再用另一个工具去探索另一个问题。