1.加法原理

完成一件事，有k类方法，各类分别有n1、n2……nk种方法

一共有n1+n2+……+nk种方法

2.乘法原理

完成一件事，要k步，各步骤分别有m1、m2……mk种方法

一共有m1•m2•……•mk种方法

3.排列

从m个不同对象中依次选取n个，排成一列，一共有A（n，m）种

A（n，m）=m（m-1）……（m-n+1）=m！/（m-n）！

4.组合

从m个不同对象中选取n个（无序），组成一个集合，一共有C（n，m）种

C（n，m）=m（m-1）…（m-n+1）/n！=m！/（m-n）！n！

例题1

用0、1、2、3、4能组成多少个不同的五位偶数？

A（4，4）+3•A（3，3）+3•A（3，3）=60

答案：60种

例题2

用2个1、3个2、1个3组成多少个6位数？

C（2，6）•C（3，4）•C（1，1）=60

答案：60种

常用方法

（1）枚举法

（2）利用排列数与组合数计算，包括分情况讨论、运用容斥原理，考虑重复情况等

（3）将问题转化为一般性情况，再利用递推的思路解决

（4）构造另一个组合模型，再利用对应的思路解决

5.递推法

例题3

10条直线能把平面分成多少各区域？（思路：将问题一般化处理）

n= 1    2    3    4

m=2    4    7    11

a（n）=a（n-1）+n

a（5）=16    a（6）=22

a（7）=29    a（8）=37

a（9）=46    a（10）=56

答案：56个

6.对应法（构造几何模型）

例如：插板法、标注法（最短路线）

例题4

不定方程x1+x2+x3+x4+x5+x6=10有几组正整数解？（运用插板法）

取10个球，分成6组

OO | OO | O | OOO | O | O

x1    x2  x3    x4    x5 x6

️️即问题转化为在9个空中插入5个隔板

C（5，9）=126

结论1

x1+x2+……+xn=m的正整数解有C（n-1，m-1）组

结论2

x1+x2+……+xn=m的非负整数解有多少组？

→（x1+1）+（x2+1）+……+（xn+1）=m+n

即问题转化为y1+y2+……+yn=m+n的正整数解

即C（n-1，m+n-1）

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