方差与标准差
变动幅度度量的标准统计方法为方差(variance)和标准差(standard deviation)。市场收益率的方差是偏离市场期望收益率的数值期望取平方。换言之
1900~2008年,我们给出的3种投资组合的年度标准差及方差表现结果如下:
见图7-11,我们把风险分成两部分:独特风险和市场风险。如果你只持有一只股票,独特风险就非常重要;但是一旦你持有20只或更多种股票组成的投资组合,多样化就消除了大部分风险。对于一个充分多样化的投资组合,只有市场风险才能有作用。因此,对于进行多样化投资的投资者,不确定性主要来源于市场的上涨或下跌,投资者的组合也就随之上下颠簸。
贝塔系数用来衡量市场风险
如果你想知道单个证券如何影响一个充分多样化的投资组合的风险,只是考虑单独持有这一证券的风险于事无补,你需要对整个市场的风险进行衡量。这就简化为所讨论的证券对市场变动的敏感性,这种敏感性被称为贝塔系数(beta)。
贝塔系数大于1.0的股票常常会放大整个证券市场的波动幅度,贝塔系数位于0~1.0之间的股票通常与市场波动的方向相同,但波动幅度不会比市场大。当然,市场是由所有股票组成的投资组合,所以对其“平均”后的贝塔系数为1.0。
一个充分多样化的投资组合的风险与其贝塔系数成正比,该组合的贝塔系数等于构成组合的各证券贝塔系数的平均值。由此可以看出,证券的贝塔系数决定着投资组合的风险。
计算贝塔系数
根据统计定义,股票i的贝塔系数定义为
式中,σim是股票i的收益与市场收益的协方差;是市场收益的方差。协方差与方差的比率衡量的是一种股票对整个投资组合风险的影响程度。
一、“方差”——均值偏离的幅度
人类在整体上是风险厌恶的,承担风险就需要得到补偿——风险溢价。但是你发现一个问题没有,到目前为止,我们所谈的风险只不过是一个抽象的名词,既看不见,也摸不着。在现实世界里,如果要计算风险溢价,就需要对风险进行客观的量化测度。这种量化测度计算,就需要借用一些概率统计的内容。
比如说2018年第一季度,一共有59个交易日,茅台的股价算下来均值是735元,最高到过788元,最低到过682元,也就是说在这三个月中,茅台的股价一直围绕着735这个均值在上下波动,这种对均值的偏离幅度其实就叫做方差(variance),也就是我们平时所说的“波动率”——波动率是最常见的衡量风险的测度。从茅台股价的上下振幅来看,你会发现,茅台的价格波动不大,也就是俗称的“风险比较小”。
二、“偏度”——衡量风险方向
方差是最常用的风险测度,很多时候当我们说到金融资产的风险的时候,就专指方差。其实这是一个比较粗略的说法。打个比方,如果一个人是普通人,那么方差,也就是心情波动的幅度可能就基本上能够描述他的性情了。但是假设一个人本来就是忧郁症患者,或者有欣悦症,悲伤或者喜悦的概率比一般人高,或者说一个人的生活特别戏剧化,会出现极度狂喜或者极度悲痛的情绪。那么这种一般的心情波动的幅度就不足以描述他的性格风险了。
同样的道理,其实我们可以把它放在金融资产上。比如说还是回到茅台的这个例子,在2018年第一季度的59个交易日中,如果我们按照日度的收益率来算,茅台的平均日度收益率是-0.01%,接近0。其中负收益,也就是赔钱的天数是28天,正的是31天,所以两边基本上是持平的。
现在我们来运用一下自己的空间想象力。假设均值就是中间那个原点,那比均值高和比均值低的观察点就分布在均值的两边。茅台的收益率的观察值,大部分都离均值不远,而那些离原点很远,表示偏离均值数值很大的数是比较少的,就意味着这些极端值发生的可能性是很低的。
这么一说,你就很快能想象出来,茅台股价的收益率的图形会呈现出一个倒U形的形状,大部分的观察点都集中在倒U形的中间,高高地拱起来。而偏离均值的部分,就像尾巴,而两边的尾巴还是对称的,这样围绕着均值的均匀对称的分布就叫做正态分布。
一个正态分布,只要用均值和方差,就可以描述到了。在金融市场上,很多时候我们都会观察到,很多金融资产的收益率,尤其是日度收益率是正态分布的,所以方差基本上就可以描述这个资产的风险了。但是我们也会经常发现,正态分布常常是不成立的。
比如也是2018年的第一季度,我找到了另外一只股票,叫“国际实业”。这只股票,在这59天中,有40天是赚钱的,只有19天是亏钱的。换句话说,这个股票对均值的偏离就会是不对称的,分布肯定也就是一个不对称的形状了,因为有40天是赚钱的,很多观察值都会集中在右边,所以右边的头很大,而左边就会拖着一根长长的尾巴,这就叫左偏。这种对均值偏离的方向就叫偏度(skewness),它是衡量一个变量往上还是往下的风险。
你对比一下茅台和国际实业就知道了,茅台收益率的偏度几乎为零,它是-0.26,而国际实业的偏度达到了负的三点几,偏度风险比茅台要大得多。
三、“肥尾”——衡量极端情况的可能性
还有一个很有意思的例子,就是很多同学都知道,我们中国股市有一个著名的现象,就是“牛短熊长”,其实就是说的中国股市经常是处在下跌的状况,用更精确的语言说,下跌的概率比较大,我们要把这个现象用金融数学的语言来描述的话,就是中国股市这个大盘的偏度风险比较大。
除了偏度之外,其实还有一种常常容易被我们忽略的风险,就是那种发生概率很小,但是影响很大的事件。比如你肯定知道,在中国市场上,一个股票一天之内涨跌10%不是常见的事情。那么如果在一段时间内,一个股票发生这种极端值的可能性很大的话,我们就把它叫做“肥尾风险”(fat tail risk)。
所谓“肥尾”是什么意思呢?它是针对着正态分布而言的。刚才我说过,在正态分布的情况下,偏离均值很远的极端值,它发生的可能性不是很高,所以倒U形的两边会是一个很平滑的尾巴。所以如果发生这种极端事件的可能性很高,尾巴就会翘起来,所以叫“肥尾”。
像2015年夏天的时候,A股市场动辄就发生崩盘的情况,那个时候就是肥尾风险很大的时候。
你看,有了方差、偏度、肥尾这些具体的测度以后,金融市场上的风险就不再是抽象的概念了,而是变成了客观的数值,你可以用它们来计算对应的风险溢价。其实金融世界的量化也是从这里开始的。
最后再提醒一句,要是这种抽象的风险概念,你仍然觉得不好理解,你还是可以返回到具体的场景来思考。你看,那种有忧郁症,或者欣悦症的人,悲伤和高兴的日子比一般人多,就叫什么呢?这就像人群性格上的偏度风险;而那些生活得特别戏剧化的人,那种极端情绪比较多的“戏精”就是性格上有肥尾风险。
像方差、偏度、肥尾这些风险测度都是针对着“正态分布”来的,正态分布这个概念绝对不是仅仅用在金融里面,它其实在我们生活中随处可见。人群的身高,就大体上服从一个正态分布,大部分人都是不胖、不瘦,或者不太胖、不太瘦,围绕着一个均值上下波动。这些观察点会均匀地分布在均值的两侧,形成一个倒U形。那些特别胖或者特别瘦的人是少数,分布在尾巴上。
那么如果一个地方是“朱门酒肉臭,路有冻死骨”,胖瘦的波动很大,那就是方差很大;如果一个地方,比如像美国这种地方,胖子特别多,那就是偏度很大;如果一个地方,超级胖子很多,或者说一个地方骨瘦如柴的人特别多,那就是肥尾了。
顺便复习一下数学期望的概念: