辩证法与数学 课程分享25
这是通识选修课《社会科学与数学》第一讲《哲学与数学》的第三节，讨论辩证法与数学的关系。
第一讲 哲学与数学
三、辩证法与数学
辩证法有三大规律，即对立统一规律、量变质变规律、否定之否定规律。这三个辩证法规律在哲学上普遍性达到极限程度。这是黑格尔在《逻辑学》中首先阐述出来的，恩格斯则将它从《逻辑学》中总结和提炼出来，从而使辩证法的规律变得更加清晰了。
恩格斯著有《自然辩证法》一书。
1.对立统一规律的数学形式
数学中加与减、乘与除、乘方与开方、指数与对数运算、三角与反三角运算、微分与积分运算等等,它们都是互逆的运算。互逆的运算是对立的双方,是现实世界中正与逆的矛盾在数学中的具体反映,它们互相依存,不可分割。在一定条件下相互转化。数学运算正与逆的存在与统一,是解决数学问题的有力杠杆,因而对一个给定的运算是否存在逆运算,它是怎样形成的,始终是数学研究的中心课题。
常量与变量是数学中两个非常重要的概念,常量是反映事物相对静止状态的量,变量是反映事物运动变化状态的量,它们是有区别的。但它们又具有相对性、依存性,在一定条件下可以相互转化,因此又是统一的。
现实世界中的有限与无限,反映到数学中来成了量的有限与无限。数学中人们常常通过有限来认识无限。无限一方面可以作为有限的总和而存在,作为一切有限的对立物而存在；另一方面又可作为描述量的变化过程而存在。有限与无限有着质的差异。例如,一个有限集和它的任何真子集之间都不能建立一一对应关系。但在无限集中,就不完全是这样。比如,自然数集可以和它的真子集建立一一对应关系,一个有限的数集必有最大数与最小数,但是无限数集就不一定是这样。再如,对于数的有限和满足交换律与结合律,但在无限和式中就不能任意运用这些定律,否则将导致谬误的结果。
直与曲是两种不同的形象,从几何角度说,前者曲率是零,后者曲率非零。从代数角度说,前者是线性方程,后者是非线性方程,因而直与曲的区别是极为明显的。恩格斯说：“几何学开始于下列的发展,直线与曲线是绝对的对立,直线完全不能用曲线表现,曲线也不能完全用直线来表现,两者是不能通约的,但是连圆的计算也只有用直线来表现它的圆周时才有可能,而在具有渐近线的曲线的情况下,直线完全化为曲线,曲线完全化为直线,平行的概念也同样趋于消失,两条线并不是平行的,它们不断地相互接近,但永远不相交。”这就是在一定条件下,直与曲可以相互转化的辩证思想。
2.量变质变规律的数学形式
量变质变规律指出了量变、质变是事物运动变化的两种最基本状态,事物的发展变化都表现为由量变到质变,再由质变引起新的量变的反复过程。数学理论中体现着量变质变规律。一方面,数学中每种概念的存在都有着特定的量的界限,如果量变超出了这个界限,就会发生质变,形成另一种概念,这种新概念又存在着自己特有的新的量变。
例如,极限思想就是一种量变质变规律。其几何解释可以是，正多边形边数的变化范围是“大于或等于3的有限数”,如果边数的变化超出上述范围就不再是正多边形,变为线段或圆。(边数小于3时为线段；边数超出有限数范围,即趋于无穷时为圆。)不论线段还是圆,都有自己新的量变。
另一方面,数学理论的形成过程是从量变到质变、从近似到精确的过程。比如为了求曲边梯形的面积,先将该曲边梯形分割成若干个小曲边梯形,如果分割足够密,这些小曲边梯形可以近似地看成小矩形,然后利用求矩形面积的方法求出各个小曲边梯形面积的近似值,其和就是原曲边梯形面积的近似值。因为所求的仅为近似值,所以上述过程是量变的过程,没有发生质的飞跃。如果分割无限加密,即各个小曲边梯形的最大宽度趋于零时,就得到原曲边梯形的精确面积,发生了从量变到质变的飞跃,这正是定积分理论的基本思想。
3.否定之否定规律的数学形式
否定之否定规律揭示了事物自己发展自己的完整过程是：经历两次否定、三个阶段,即由肯定达到对自身的否定,并再由否定进到新的肯定——否定之否定。每一个数学理论的发展都符合否定之否定规律。在理论最初形成时,该理论得到肯定；随着实践的需要和研究的深入,该理论的不完善、不精确之处逐渐暴露出来并被否定；进而数学家们开始研究如何使该理论更完善、更精确,最终得出新的结论,达到新的肯定。
此外,数学的运算结果也体现着否定之否定规律,例如,正数取两次相反数(两次否定)仍是正数；命题逻辑中,一个命题的两次否定仍是原命题；四种命题形式及它们的关系；命题证明方法中的反证法等。
