空间可以容纳运动，是从一个点到另一个点的移动（变换），容纳运动是空间的本质特征
矩阵则是线性空间的变换
线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。
在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。
在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。
矩阵的本质是运动的描述
矩阵的特征向量跟特征值的英文名字分别是 eigenvector 跟 eigenvalue，这俩概念非常有用。
大部分同学可能脑子里想一下还能记得他们俩是怎么计算出来的，但是他们为什么可以代表一个矩阵的“特征”呢？除了这俩，相信大多数同学都不记得矩阵的行列式是个什么东西了，总之不太直观。相比较而言，矩阵的迹（trace）这个概念就比较直观，就是主对角线上的元素之和。
“eigen”在德语里的意思是“自身的”，“固有的”，在我们汉语里把它翻译成“特征”；无论德语还是汉语，都表达出了特征值跟特征向量其实是一个矩阵内在的，独有的东西。特征值跟特征向量是定义在方阵上的，为了方便通过图表描述，我们从最简单的2*2方阵入手：把方阵A∈R2×2理解成二维平面上的一个映射，平面上任意一个向量x∈R2×1都可以被映射成一个新的向量x′=Ax，画在图上就是
对比着俩图可以发现，对于一个固定的矩阵A，一般的向量被他transform之后都会改变方向，但是有一些特殊的向量，被A映射了之后还是保持它本来的方向，改变的只是它的模长。这些特殊向量的方向不变性表达出来就是这样的：
那么要如何计算特征向量呢？从特征向量的定义出发：
从这个方程里，我们不但需要得到v，也需要得到λ。把原问题转化成方程（1）之后，可以发现方程（1）没有常数项，以二维为例可以把（1）写成：
这个方程组想要有非零解，必须得满足a/c=b/d 也就是 (a,c) 跟 (b,d) 共线。
也就是教科书上说的矩阵A不满秩（p.s. 方阵的秩定义为矩阵中线性不相关的行跟列的个数）。
教科书上还告诉我们不满秩的充要条件是矩阵的行列式等于零。矩阵的秩的概念比较容易理解，行列式却没有这么直观。其实 determinant 这个单词被翻译为行列式个人认为不是很传神，感觉 determinant 也需要一个带点“特征”含义的中文名。
与矩阵的秩相似，行列式也是一个数值。还是把矩阵当成一个映射，那么 (0, 1) 跟 (1, 0) 这对基可以被映射成e1′, e2′ ，如图所示，那么矩阵A的行列式就被定义为由e1′, e2′ 这两个向量延伸出来的平行四边形的面积：
用这种方式让一个矩阵跟一个数值产生关系简直是神来之笔。更神奇的是这样做，特征值，特征向量，行列式就关联起来了。不满秩要求行列式为零，那么什么时候一个平行四边形的面积会变成0呢？可以发现，当e1′, e2′ 这俩向量平行的时候，就没什么平行四边形了，平面上就只剩下了一条线段：
什么样的矩阵会产生这种效果呢？对于二维矩阵来说，只要它的两个行向量共线就可以。重新理一下我们现在的逻辑线条：
想让方程组（1）有非零解，必须让它的行向量共线，想让行向量共线，只需要A的行列式为零；二维矩阵的行列式等于平行四边形的面积，三维矩阵的行列式对应的是平行六面体的体积....更高维度上也可以延伸出同样的类似于“体积”的定义。
那么面积要怎么算呢？还是以二维平面为例，两个向量构成的平行四边形的面积可以由下面这个公式计算
令这个计算面积的公式等于零：
这个方程就是课本上的特征方程，方程的解就是特征值。特征方程的解也可以写成这种形式：
方程（2）跟方程（3）必须是一回事。
观察一下这俩方程，可以发现（2）的常数项是 ad−bc； 方程（3）的常数项是λ1⋅λ2 。
结合前面讲的矩阵A的行列式（平行四边形的面积）可以发现：|A|=ad−bc=λ1λ2；对，这不是巧合，实际上在任意维度的矩阵上同样可以证明
行列式等于特征值的乘积。
矩阵的秩则是非0特征值的个数
最后轮到矩阵的trace了，个人觉得trace的中文翻译就更渣了，居然就直勾勾的叫作迹。。。trace的英文名字感觉还跟它的物理意义挺搭的：拿到一个矩阵，我们沿着主对角线往下走到最后，所有元素的和就是trace：trace(A)=∑Aii
下面，高能的部分来了：trace(A)=∑λi ，矩阵的trace等于特征值之和，也就是说矩阵的主对角线元素之和等于它的特征值之和。
如果将矩阵线性行变换为上三角矩阵，则对角元素是特征值
特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式：
其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。
