本文参考整理了Coursera上由NTU的林轩田讲授的《机器学习技法》课程的第四章的内容，主要介绍了Soft-Margin SVM和它的对偶问题的基本推导过程，主要介绍了Soft-Margin引入的动机、dual problem、αn的物理意义(包括bounded SV、free SV、non SV)及SVM中模型和参数如何选择等内容，文中的图片都是截取自在线课程的讲义。
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本系列文章已发四章，前三章的地址如下：
- 一、线性SVM
- 二、SVM的对偶问题
- 三、Kernel SVM
引入Soft Margin的动机
利用上一章所讲的Kernel，我们可以利用很多复杂的模型，比如Gaussian Kernel允许我们进行无限多维度的特征转换，虽然有Large Margin的控制来减少VC维度，但还是可能Overfitting。产生过拟合的原因，一方面是因为我们的模型实在太powerful，另一方面与我们坚持要求分隔界限必须完美划分OO和XX的Hard Margin要求也密不可分，如果我们能够放松要求，允许一些点被划分错误，也可能会少fit一些Noise，减少一些Overfitting的可能。
Give Up On Some Examples
在《机器学习基石》中，我们学到的第一个模型是Pocket，它的思想是当没有办法完美分开OO和XX时，我们找一条犯错误最少的线就好。
再看Hard-Margin SVM的要求，它的要求更加苛刻，除了要全划分对，还要选W最短的，即
类似的，我们将两者相结合
系数C用来衡量Large-Margin和犯错误之间的相对重要性。
该问题就是我们的新问题，即Soft-Margin SVM。
化简Soft Margin SVM
将正确分类的点的要求和错误分类的点的要求写成一个式子，如下
注意这里有个问题，这里的运算包含一个[[]]布尔操作，它不是线性约束，所以问题也不再是QP问题，也不再能用之前所推导的对偶问题、Kernel Trick等技法。
而且，这里也没办法区分错误的大小，到底错误点的偏离程度有多大。
下面用一个新式子来表达这种带有错误衡量的Soft Margin SVM问题，而且该问题还是一个QP的形式。
我们用ξn来代表(Xn,yn)离正确分类的yn一侧的胖胖的边界线的错误偏离程度。即如果是正确的点，应该满足yn(W’Zn+b)>=1，且左侧的值越大，则点离线W’Zn+b=0越远，最近的点，即margin上的点，满足yn(W’Zn+b)=1；而错误的进入了软性的margin内，甚至到达反向的对侧的点，yn(W’Zn+b)肯定都严格小于1，且越小偏离越远，我们用一个ξn来衡量这种偏离度，即使得yn(W’Zn+b)>=1-ξn一直成立，同时要求ξn>=0尽可能小，这样对于正确的点，本来就大于1，ξn自然为0；而错误的点则需要1-正数ξ来纠正偏离，ξn就衡量了点犯错误的大小程度。我们之前的式子，用犯错的点的总个数来衡量错误，现在的式子用每个点的犯错程度的总和来衡量，而且形式也是一个二次规划QP的形式，新的式子如下：
参数C：large margin和margin violation的trade-off
- C很大：margin-violation的惩罚很大，尽可能少犯错误
- C很小：margin大一点，很多点犯错没什么大关系，因为惩罚很小
该QP问题有d+1+N个变量，其中d+1是之前的W和b，增加的N个是记录每个点的犯错程度的ξn；有2N个约束，增加的N个约束是ξn>=0。
下一步，我们将仿照之前推导Dual SVM的方法，重新推导Soft Margin SVM的对偶问题，并尝试利用kernel trick移除对d~的依赖。
Soft Margin SVM的对偶问题
原始问题：
原来变量的约束还是用αn来代表其lagrange multipliers，我们用βn来代表新增加的变量约束ξn>=0的lagrange multipliers，得到Lagrange Function如下：
其对应的Lagrange Dual问题如下：
代入Lagrange Function，如下
对变量ξn偏微分，
所以，我们可以把βn换成C-αn，再满足条件βn>=0，则有αn<=C，加上原来的条件αn>=0，则得到0<=αn<=C，这样就完全不用考虑β了。
用C-αn消去β后，化简后如下
发现，所有的ξn也被消掉了，就像之前在Hard-Margin SVM Dual的问题中，把b消去一样。
式子变简单了，如下
发现这个式子和之前Hard Margin SVM的Lagrange Dual基本一样，只是多了αn<=C的条件，接下来按照之前的步骤化简，对b微分，消去b,对W微分，用αn对ynZn的线性表示替换W，变成只有一个变量α的最优化问题，比较简单，请参考前面推导Hard Margin SVM Dual的过程。
最终会得到Soft Margin SVM Dual的标准形式。
Standard Soft-Margin SVM Dual
唯一的差别就是增加了条件αn<=C和隐式的βn=C-αn的条件。
这是另外一个QP问题，有N个变量，2N+1个条件，它也是个convex的问题。
Kernel Soft-Margin SVM
基本过程
基本和Hard-Margin一样，但是比Hard-Margin更加灵活，因为可以控制参数C。
而且Soft-Margin不论是Primal还是Dual总是有解，而不像Hard-Margin的问题需要数据linear-separable，因此在实践中Soft-Margin经常使用。
如何算b?
对于Hard-Margin SVM，我们利用互补松弛条件和一个SV就可以算出b
对于Soft-Margin SVM，也有类似的complementary slackness条件
所以，要解出唯一的b，需要找一个自由支撑向量(Xs,ys)，即0<αs<C，则
如果没有free SV（极少数的情况下），则b只能被一堆不等式所表示，只要不等式范围内的b满足所有的KKT条件，则这些b都是可以的。
实际的Soft-Margin Gaussian SVM
灰色的部分代表margin内部，越大的C，对错误的惩罚就越大，就尽可能少犯错，就越可能fit Noise，对Noise的容忍度就越小，就越可能Overfit。
注意：如果参数调节不好，就算是Soft-Margin SVM还是有可能产生Overfit的!
因此，对于Soft-Margin Gaussian SVM，我们需要仔细地选择参数(γ,C)。
αn的物理含义
哈利波特条件(Complementary Slackness):
之所以叫哈利波特条件，是因为左边的两个括号，如果一个不为0，另一个一定为0，就像哈利波特和伏地魔两者至少必有一个死亡。
可以把点分成3类：
- free SV：0 < αn < C，ξn = 0，可以用来确定b，可以算出yn(W’Zn+b)=1，意味着点(Xs,ys)在胖胖的边界上，在上图中用□代表。
- non SV：αn = 0，ξn = 0，意味着没有犯错，大部分可能落在胖胖的边界的正确一侧的外面，极少数可能刚刚好落在胖胖的边界上，在上图中它们就是不用□或者△圈出的点。
- bounded SV：αn = C，则ξn = 1 - y(W’Zn+b)，即ξn = violation amount，在上图中用△代表。极少数的情形，点刚刚好在边界上，大部分来说，只要看到αn=C，就意味着它违反了胖胖的边界。
注意：violation有两种，一种是小小的违反，只是进入margin而没有跨过中线，虽然有小小的违反，但是没有造成我们的分类错误；还有一种是大大的违反，已经跨过中线，造成分类错误。
因此，利用αn可以帮助我们进行数据的分析。
bounded SV是唯一可能造成Ein错误的点，如果ξn>=1，意味着这种violation造成了0/1分类错误，如果0<=ξn<1，就不会造成0/1分类错误。因此，Ein的可能范围在0.0000<=Ein(gsvm)<=#(bounded SVs)/N
实践需要：模型选择
上图9个全部都是Soft-Margin Gaussian SVM，横轴是使用了不同的参数C，纵轴是使用了不同的参数γ。
如何选择哪组参数对应的模型最好呢?
之前《机器学习基石》课程告诉我们最简单好用的工具就是Validation。
V折交叉验证
利用Cross Validation的值选择
我们能不能做最优化？
不能。因为对于每个(C,γ)，Ecv(C,γ)不是(C,γ)的平滑函数，很难最优化，通常只能送进去几个不同的(C,γ)值，看看哪一个最好。
我么可以用V-fold cross Validation在几个不同的(C,γ)上选择最合适的model。
对于SVM来说，Cross Validation是一个非常常用的方式来选择适当的参数。
Leave-One-Out CV
V-fold的极限：E(loocv) = E(cv) with N folds
LOO在SVM有一个有趣的结果：
证明：对于点(Xn,yn)，如果刚好最优αn=0，即说明该点不是SV，则对于去掉点(Xn,yn)后的数据集，(α1，α2，α3....αn-1，αn+1,...,αN)这一组α仍然是去掉点后的数据集的最优解，假设不是最优解，存在更好的解，把αn=0加回去，则构造了最开始数据集的一个更优解，矛盾。
则对SVM来说,g-=g（当去掉一个non-SV点后）
而e(SV) <= 1
则不难得到以上bound，即E(loocv) <= #SV/N
所以，我们可以近似用这个做模型的选择
利用#SV做模型的选择
数字是SV的数量。
注意：#SV只是一个上限，并不代表真正的loocv。
常用#SV来排除一些危险的模型，再做cross validation选择一个最适合的参数。即#SV常用来做安全检查(safety-check)，如果计算Ecv太过于耗时。
Mind Map Summary
我们从最开始的Linear Hard-Margin SVM开始推导，研究了它的Dual Problem，并利用Kernel Trick简化了transform + inner product的运算，这一讲又讨论了在实践中最常用的Soft-Margin SVM的问题，但这些都是在做最基本的binary classification，下一讲我们将把学过的SVM模型应用到更多的问题上，比如soft binary classification，即logistic regression问题，敬请关注。
