Piecewise的主要思想是将定义域进行切割，然后再每块上分别进行拟合，这样就会得到一个分段函数。考虑1维问题，并且假设将定义域分位3段，模型用示性函数进行表示为：
%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E6%20%5Cbeta_m%20h_m(X))
%3DI(X%3Ce_1)%2Ch_2(x)%3DI(e_1%20%5Cle%20X%3Ce_2)%2Ch_3(x)%3DI(e_2%20%5Cle%20X))
%3DX%20I(X%3Ce_1)%2Ch_5(x)%3DX%20I(e_1%20%5Cle%20X%3Ce_2)%2Ch_6(x)%3DX%20I(e_2%20%5Cle%20X))
,但这样会出现一个问题，那就是在切割点的时候函数可能会不连续，为了解决这个问题，我们加入条件限制切割点的左极限和右极限相等，即左右函数在切割点的取值相同。因为加入了新的条件，所以
之间会多了2个等式，这就等于减少了2个需要估计的变量。但这样的话我们需要改变原来的定义方式，否则如果左右端点的取值确定，线性拟合出的函数唯一确定。所以新的模型为:
%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E4%20%5Cbeta_mh_m(X))
%3D1%2Ch_2(x)%3DX%2Ch_3(X)%3D(X-e_1)_%2B%2Ch_4(x)%3D(X-e_2)_%2B)
,)
这个式子中h3和h4起到了类似示性函数的作用，但同样确保了切割点左右极限相等（把e1,e2代入方程简单可证）
一般piecewise问题，我们会选择在每段上进行3阶拟合，即拟合到
，理由是为了确保在全定义域上一，二阶可导（一般在拟合时都会追求一二阶可导，一个是因为可以泰勒展开，另一个是求很多问题（最优化）时会用到一二阶的信息），模型为：
%3D%5Csum_%7Bm%3D1%7D%5E6%20%5Cbeta_mh_m(X))
%3D1%2Ch_2(x)%3DX%2Ch_3(x)%3DX%5E2%2C%20h_4(x)%3DX%5E3%2Ch_5(X)%3D(X-e_1)%5E3_%2B%2Ch_6(x)%3D(X-e_2)%5E3_%2B)
（# region * order)-(# knots) * (order)=3 * 4-2 * 3=6个参数
更普遍的模型是:
%3Dx%5E%7Bj-1%7D%2Cj%3D1%2C2%2C...%2CM)
, M是阶数+1，一般M取1(constant piecewise),2(piecewise linear),4(cubic spline)
%3D(X-e_l)%5E%7BM-1%7D_%2B%2Cl%3D1%2C2%2C...%2CK)
，K是节点数
估计参数：
和线性回归类似的，
有可能不可逆，所以在估计参数时加上一个罚函数,一个典型的罚函数是L2：
)%5E2%2B%5Clambda%20%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7BM%2Bl%7D%5Cbeta_k%5E2)
或者是smooth spline，用另一种罚函数
