四面体：2020年全国卷A题18
分值：12 分
如图， 为圆锥的顶点，
是圆锥底面的圆心，
为底面直径，
.
是底面的内接正三角形，
为
上一点，
.
（1）证明∶ 平面
;
（2）求二面角 的余弦值.
2020年全国卷A
【解答问题2】
由题设条件可知：
平面
,
.
根据勾股定理可得：
同理可得：
在 中，
且
,
∴ 是等腰直角三角形，
同理可证： 是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
∵ ,
∴ 平面
.
同理可证： 平面
;
平面
.
证明完毕.
【解答问题2】
令 .
∵ 是正三角形，∴
.
∵ 是等腰直角三角形，
∴ .
延长 , 记两直线交点为
.
∵ 是直径，∴
∵ 是正三角形，∴
∴ .
∵ 平面
平面
,
∴ 平面
∵ 平面
,
根据勾股定理求得：
∵ 是等腰直角三角形，
在 中，
.
根据余弦定理求得：.
∵ 平面
,
∴ ,
∴ 是二面角
的平面角
∴ 二面角 的余弦等于
.
【提炼与提高】
由一个正三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体，是高考中的常客。
在2020年的全国卷一，这个四面体再次现场。这次在四面体外加了一个圆锥作为装饰，难度略有提前。
假如将外面的圆锥拆掉，就可以看到我们熟悉的四面体。
通读问题1的解答会发现，并没有用到什么高深的知识。勾股定理及逆定理在此过程中起到了重要作用。当然，还有线面垂直、线线垂直的相互转化。
问题2非常有意思。纵观最近十年的立体几何大题会发现：早期的考题比较强调几何方法；在2016年前后的考题更强调向量方法；而最近几年的考有向几何方法回归的味道。或者说，综合性更强了。
就本题第2问来说，可以用几何方法，也可以用向量方法。假如采用空间向量，也需要几何分析作为基础。
本文提供的是几何解法；稍后再介绍向量解法。
