四面体：2020年全国卷A题18

四面体：2020年全国卷A题18

分值：12 分

如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD. \triangle ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO.

（1）证明∶PA \perp 平面 PBC;

（2）求二面角 B-PC-E 的余弦值.

2020年全国卷A

【解答问题2】

由题设条件可知：AB=BC=CA= \dfrac{\sqrt{3}}{2} AE

AE=AD=DE

DO=\dfrac{3}{2} AE

PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO = \dfrac {\sqrt{3}}{4} AE

AO= \dfrac {1}{2} AE

DO \perp 平面 ABC, DO \perp AO.

根据勾股定理可得： PA^2=\dfrac{3}{8}AE^2

同理可得：PB^2=PC^2=\dfrac{3}{8}AE^2

在 \triangle PAB 中， PA=PB 且 PA^2+PB^2=AB^2,

∴ \triangle PAB 是等腰直角三角形，PA \perp PB

同理可证：\triangle PAC 是等腰直角三角形，PA \perp PC

\triangle PBC 是等腰直角三角形，PB \perp PC

∵ PA \perp PB, PA \perp PC, PB \cap PC=P,

∴ PA \perp 平面 PBC.

同理可证：PB \perp 平面 PAC; PC \perp 平面 PAB.

证明完毕.

【解答问题2】

令 AB=2.

∵ \triangle ABC 是正三角形，∴ BC=AC=2.

∵ \triangle PAB, \triangle PBC, \triangle PCA 是等腰直角三角形，

∴ PA=PB=PC=\sqrt{2}.

延长 CE,AB, 记两直线交点为 F.

∵ AE 是直径，∴ \angle ACF=90°

∵ \triangle ABC 是正三角形，∴ \angle CAF=60°

∴ AF=4, CF=2\sqrt{3}.

∵ F \subset AB, AB \subset 平面 PAB

P \subset 平面 PAB,

∴ PF \subset 平面 PAB

∵ PC \perp 平面 PAB,

PC \perp PF

根据勾股定理求得：

PF=\sqrt{10}

∵ \triangle PAB 是等腰直角三角形，\angle PBA=45°

在 \triangle PBF中，BF=2, PB=\sqrt{2}, PF=\sqrt{10}, \angle PBF=135°.

根据余弦定理求得：\cos \angle PBF=\dfrac{2}{5}\sqrt{5}.

∵ PC \perp 平面 PAB,

∴ PC \perp PB, PC \perp PF,

∴ \angle BPF 是二面角 B-PC-E 的平面角

∴ 二面角 B-PC-E 的余弦等于 \dfrac{2}{5}\sqrt{5}.

【提炼与提高】

由一个正三角形和三个等腰直角三角形构成的四面体，是高考中的常客。

在2020年的全国卷一，这个四面体再次现场。这次在四面体外加了一个圆锥作为装饰，难度略有提前。

假如将外面的圆锥拆掉，就可以看到我们熟悉的四面体。

通读问题1的解答会发现，并没有用到什么高深的知识。勾股定理及逆定理在此过程中起到了重要作用。当然，还有线面垂直、线线垂直的相互转化。

问题2非常有意思。纵观最近十年的立体几何大题会发现：早期的考题比较强调几何方法；在2016年前后的考题更强调向量方法；而最近几年的考有向几何方法回归的味道。或者说，综合性更强了。

就本题第2问来说，可以用几何方法，也可以用向量方法。假如采用空间向量，也需要几何分析作为基础。

本文提供的是几何解法；稍后再介绍向量解法。

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