刚体碰撞推导

刚体撞墙

设刚体质量为 $m$ ，质心速度为 $v$ ，角速度为 $\omega$ ，力臂（碰撞点与质心的连线在碰撞平面上的投影）为 $r$ ，刚体相对瞬时转轴的转动惯量为 $J$ ，碰撞后质心速度为 $v'$ ，角速度为 $\omega'$ ，发生完全弹性碰撞。假设 $v$ 与碰撞平面垂直。
假设作用在碰撞点上，平行于法线的冲量为 $j$ ，那么：
$\begin{aligned} mv' - mv &= j \\ J\omega' - J\omega &= rj \end{aligned}$
即
$\begin{aligned} v' &= v + \frac{j}{m} \\ \omega' &= \omega + \frac{rj}{J} \end{aligned}$

根据能量守恒，有
$\begin{aligned} \frac{1}{2} J \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2 &= \frac{1}{2} J (\omega')^2 + \frac{1}{2} m(v')^2 \end{aligned}$
代入可得
$\begin{aligned} \frac{1}{2} J \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2 &= \frac{1}{2} J (\omega + \frac{rj}{J})^2 + \frac{1}{2} m(v + \frac{j}{m})^2 \end{aligned}$
整理上式，得到
$j = -\frac{2(wr + v)}{\frac{r^2}{J} + \frac{1}{m}}$
因此
$\begin{aligned} v' &= v - \frac{2(wr + v)}{\frac{mr^2}{J} + 1} \\ &= \frac{J - mr^2}{J + mr^2} v + \frac{2J}{J + mr^2} \omega r\\ \omega' &= \omega - \frac{2(wr + v)}{r + \frac{J}{mr}} \\ &= \frac{J - mr^2}{J + mr^2} \omega + \frac{2mr^2}{J + mr^2} \frac{v}{r}\\ \end{aligned}$

p.s. 已知刚体的惯性张量 $\mathbf{I}$ ，其转动惯量 $J$ 可以通过以下方式计算：
$\begin{aligned} J\omega &= |\mathbf{I}\omega| \\ (J\omega)^2 &= \omega^\top \mathbf{I}^\top \mathbf{I} \omega \\ J &= \sqrt{\frac{\omega^\top \mathbf{I}^\top \mathbf{I} \omega}{\omega^\top\omega}} \end{aligned}$

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