接着前一篇：数学思想方法揭秘-3-1(原创)继续讲解。回前言。
作者：王国波
第二个是要总结解题经验教训反思提高，提炼各种方法各种知识点的本质，形成自己的思想方法和模式套路。
这个涉及到解题过程中的第4步，回顾反思，反思解题过程中的成与败，得与失。对自己提问，自我质疑，自我反省，进而总结提高。当然在解题过程第2步我们也要善于运用反思反省和逆向思维。
任何数学思想方法都有一定的模式或套路，格物致知，要在数学思想方法层面悟道，需要在实践活动中也就是解题过程中领会数学思想方法的精妙之处。庖丁解牛的故事中技进于道，与此类似，在学习过程中我们也要有善于归纳总结的习惯，从实践活动中归纳总结，提炼升华出思想结晶和真知灼见。例如我们在解决一个问题时，有的问题中存在不变性约束，例如8个数字12345678，这些不同的数字可组成多个8位数，数量是8的阶乘，问这些数字中有多少个质数。其实敏锐的人有洞见的人根本不用归纳总结规律，或者说他们的归纳总结在脑中一闪而过，自己都没意识到有归纳总结，就能知道这里面有个不变的约束，不变的特征和规律：每个8位数的数字和都相同。联想到等差数列求和，1+…+8，并且这个和并不要精确算出来，精确-模糊(近似)在问题中的辩证运用，和是3的倍数，没有质数。
其他问题中也可能存在不变性约束或不变量、不变的关系，在学习中就要总结提炼出思想方法，例如变中有不变的思想。例如列方程解应用题，列方程解题或方程思想可以用‘一句话的本质来概括：就是根据不变量，根据等量关系列出方程式。关系和一些已知条件就是不变的约束。如果两个变量只能列出一个方程式，那就要挖掘题目中隐藏的不变量、不变的约束或关系来列出另一个方程式。例如年龄问题中，两人的年龄差通常总是不变的，我们可以利用这个来列方程列等式，此处的不变也体现了'算两次思想'，从两(多)个角度或方式途径来计算同一个数学对象的量或关系。
刚才提到'一句话本质'，假传万卷书，真传一句话，很多知识点和方法都有'一句话的本质'或精练的高观点，用一两句话或少数几句话就能概括提炼出其背后的本质，要有这样的认识和理解。本质和高观点通常是核心的、简洁和高屋建瓴的，而不是冗长的。对数学方法，要尽量自己推敲，归纳总结概括出'一句话本质'或掌握其背后的本质认识才算真领悟掌握，才能不被难题的表象所迷惑，才能有意识的清醒地自觉利用这些思想，才能较快想到适当的数学方法来解决，而不是自发地或蒙昧状态下运用。例如对集合思想，理解深刻了，对几何中的点，即使题目中没有提到集合和轨迹这两个词，根据题目情况会自觉研究点的运动轨迹(轨迹是点的集合)并利用它来解题。
解题过程中卡壳时，就要进行反思或调整思路，梳理下是否把所有已知条件都用好了用足了，考试题中的已知条件一般不可能是多余的，是否把已知条件、特征、规律、关系等解题线索都用好了，如何才能把题目的解题线索用好。是否认真观察过题目的图形和算式并完整挖掘发现了里面的解题线索。重新审题，题目中的每句话是否还蕴含有深意，是否还要深入挖掘其充要条件加以运用。归纳总结现有的解题方法和思路有何特点和问题、不足，有何共同点。基于现有方法的特点，否定该方法从而寻找新方法，打破思维定势，一计不成再生一计，或者说在原有方法基础上加以调整。
解题最后，无论是否做出来，都要回顾反思，总结经验教训。对没做出来的题包括做错的题，要对照答案对自己提问：为何没想到，原因在哪，问题在哪一步，是审题疏忽，还是因为有些知识点没掌握好，是计算失误、还是有些数学方法不会用、还是数学思想方法没有意识或不够熟练。对做出来的题，要进一步体会数学思想方法运用的精妙，能否换一种思路去解。无论自己是否能做出来，对只有解题方法，却没有提及它所用到的数学思想方法的题，都要找出其背后对应的数学思想方法或总结提炼解题方法中蕴含的数学思想方法，加以揣摩体会，消化吸收，融合到自己的解题方法知识体系中去。吃一堑长一智，就这样反思反省，找出自己的不足和薄弱点，加以改进提高。
例如我在解题总结回顾时，就体会到在使用关系思想建立关系时，有时要和稳定的对象(数学元素，例如一个点，一条线段)建立关系才合适，有时要和变化的对象建立关系，何种情况下适合和前者，何种情况下适合后者，这其中的微妙之处，就要能体会总结出来。
总之就是解题之后，对解题过程中做的好的地方，成功的地方要总结升华，运用正反馈巩固，以后越来越熟练地重用总结出的经验；做的不好的(例如错题或思考过程中没想到的)，失败的地方要反思反省，运用负反馈调节，以后要改进调整。
对一些已知条件，有的运用起来有先后顺序之分，有些条件在解题最前面用是没啥效果的，这些都是在解题过程中总结出的经验，也是些小技，还有些不写了。
第三个是观察能力、识别分辨能力，举一反三的能力
这个涉及到解题过程中的第1步，审题。
碰到问题，要先审题，把题目搞明白，还要观察，发现题目中隐藏的特征、特点、关系、规律、充要条件等，解题中很可能要利用到这些发现的东西。另一个就是根据问题的特点和性质，也就是问题的‘’形‘’，敏锐地识别出/联想/类比出它和先前问题或已有知识的类似地方，例如先前熟悉的题型和模式、知识点、已知问题，也就是‘’神‘’，本质，重用它们来解决问题。从形似到神似到本质，不能换个马甲就认不出了。识别不出来，那原有的经验和知识就利用不上，也就意味着所学的知识点是死的。
第四个是要建立融汇贯通的网路化知识体系和思想体系
对数学中的各种概念要掌握其内涵和外延，这是基础。基于概念来进行联想是概念的一个基本应用。先前提到过联想这种数学思想方法，联想是一种思维中的心理活动，由此及彼。联想有多种方式，基于概念来展开联想是一种方式，例如对概念，我们通常会想到其定义、内涵和外延以及关联的的知识点，例如题目中出现三角形，要能联想到三角形的内角和、面积公式、正余弦定理等等，碰到直角三角形除了这些之外肯定要联想到勾股定理等。如果是解决具体问题，联想一般不能天马行空，思维或联想的发散和收敛（定向）不说了。要注意的是,联想也有相反联想,例如从黑想到白,这个也是反向思维的运用。
对概念和知识点，在学习它们时，要主动敏锐地联想到它们和其他已经学过的知识点和概念有啥区别，有啥联系/关系，比较它们有啥相同和不同，要知晓它们的区别和联系/关系，在认识事物时，要有这种习惯和意识。质疑和发散，在学习时可以发散下思维，用一些疑难问题场景case来验证和挑战所学的东西，激发自己研究在这些场景下如何运用所学的知识来解决问题，从而加深对所学知识的深入了解和灵活运用。这样学习，就像滚雪球，越滚越大，把所学知识融入到自己的知识体系中，各种知识条分缕析，但又融会贯通，建立起横向、纵向的多维度多层次的联系，形成知识体系，形成知识网络，才能更好掌握运用，左右逢源，游刃有余，就像神经元突触相互连接的越多，通路就多，思维就灵活。例如在前面的漫谈1中已经提到学习平均数时要能想到它和抽屉原理的内在关系，这样知识点就形成了联系，形成了网络，消除知识孤岛。学递归，就要主动想到它和递推的区别和联系；学正方形就要想到它和长方形的区别和联系。
思想体系也是这样，也要形成一个体系和网络。知识网络和思想网络最终都是为我们解题时的思维过程服务的，解题好比地图导航中建立和搜索从起点到终点的道路网络，从中找出一些路线，数学解题的思维过程类似于导航，就是探索题目已知条件与结论之间的解题过程。在探索过程中，我们大脑中的思维运作是一个网络化导航的过程，具有发散、跳跃、反思、定向、收敛的特点，数学问题、知识体系和思想方法体系三者紧密联系。在网络化导航过程中，需要知识体系网络和思想体系网络来支撑网络化导航，没有良好的知识网咯和思想体系网络来做基础，对难题难以找出有效的通路：解题思路和解题过程。
第五个自学，就是看好书实战，自学自悟
首先要有兴趣，这个不只是针对数学学习，其他学科都要有兴趣才行。没兴趣除非是天才，不可能悟道数学思想方法。
从初中甚至小学高年级开始，要注重培养自学能力。
数学思维要在实践中训练锻炼，在掌握基础知识的前提下，有好的数学书籍，至少要有一两本数学思想方法的书籍，用适当难度适当数量的题实战，通过实战进行数学思维训练，运用和体会如何利用数学思想方法来解这些题，勤于思考，善于总结，在实战中自学数学真不难。
上培训班和学校老师主导下的不注重思维训练不注重思想方法的高强度刷题，搞题海战术，是一将功成万骨枯的玩法，追求的是短期结果，不是长久之计，误人子弟，不是正道。要知道题目题型和花样是无穷无尽的，工作后独立从事技术工作碰到的问题也是多种多样的，怎能刷的完？这样刷题，锻炼的是机械的反应，事倍功半，难以量变产生质变，难得要领，难以提升学生的思维层次，学生一旦独自面对新题型新问题就傻眼束手无策，因为他没有从刷题中掌握方法论掌握数学思想方法。再说很多教学的老师自己并没有亲自做题没有自己思考，是拿着现成的解题过程解题答案来教，这样的教学谁不会？
要在有限的时间内去面对无限可能的问题，我们应该是在做题时根据自己的实际情况，在掌握好基础知识的前提下，选择有价值的经过思考之后才能做出来的有一定难度的题来做，在做题中过程中注意锻炼自己的数学思维能力，运用和体会数学思想方法。对这些题无论是成功做出来还是没做出来，都不是解题的最终结束，最后都要进行回顾，总结反思解题过程中运用数学思想方法的得与失，经验和教训，以及暴露出来在知识点和概念掌握方面的不足。做题实战最主要的目的是为了锤炼数学思维能力，掌握一套数学思想方法论，提升自己的思维品质。思维能力锻炼出来了思维品质提升了，以后即使从事非数学专业的工作也能受益终生。铁打的营盘流水的兵，以不变应万变以少胜多才是正道，不变的少的是数学思想方法，我们通常用到的数学思想方法大概有30多种，显然远没有题目和问题多。这样学习，比题海战术效果要好很多。
书很多，时间有限，要读好书读经典。现在糟粕书很多，要能分辨好书。什么才是好书，好的数学书一般要做到深入浅出，知识体系完整，循序渐进，要对书中内容、解题方法、解题规律解题技巧进行归纳总结和比较，对知识点要有它和其他知识点之间的区别和联系的讲解，这个前面提到过。如想学习数学思想方法，想悟大道，就买有数学思想方法内容的书来看，翻开书的目录，如果有联想、类比、归纳、分类、抽象、转化(化归)、数形结合等数学思想方法，再稍微看下对应章节的内容，看一两道题，如果感觉讲的比较透彻，对自己思维有启发有收获，那基本就还不错。如果我当数学老师，讲授基本知识点之外，会给学生推荐高、中、低三种层次的好书让他们选择去自学，当然也会结合具体的数学题来讲解解题技巧、思维过程和数学思想方法，启发式教学，但不会要求初高中学生必须听老师讲课，鼓励自学，鼓励提前学。
对数学思想方法的学习,还是理论和实践结合,纸上得来终觉浅,最后还是离不开做题实战。人要自知,自己应该是最了解自己学习上的缺点和不足的,要知道数学知识体系,对照这些知识体系，对比发现自己的不足在哪里，薄弱点在哪。再找适合自己,能帮助自己提高的,要能思考下才能做出来的有价值的题来刷,有意识的运用数学思想方法和解题策略。做题最后要进行反思，这个前面已经提到过。这就是在解题中逐渐领悟数学思维之道的过程。
为学日益，知识点要掌握的多，注重知识面的广度。悟道数学思维，在思想层面要为道日损，也就是每做一道有价值的题都能对数学思想方法和解题策略的理解更加深刻，思想层次提升，越来越精炼越深邃，大道至简，对数学思想方法的运用越来越纯熟，越来越自然，不留痕迹，向无为而无不为的境界靠近，这样锻炼数学思维，不需要刷太多的题。
我们的教材和教学方式存在严重问题，培训机构性价比不高，也是缺少有深度的思想方法和思维过程的启发引导，所以学有余力的(老师的大多数作业一看就会的学生)想要培养数学思维，建议在初中阶段，在上完老师的课之后，剩下大部分时间主要是看好书好的参考书自学，自己看有思想方法的书;高中更要自学，要有自由支配的时间去自学，要能自己主导自己的学习时间和学习内容,不要被别人主导。除非碰到明师，但明师有几个，所谓数学特级教师都不一定悟道，遑论悟道还有层次深浅，有名不一定有明，所以能碰到几个明师？即使有明师，也只是偶尔点拨下，还是要自己实践。通过这样的思维训练，一路下来，至少大学理工科本科阶段不用听老师讲课，自学就行。怎样检验这样的自学方式是否适合自己？如果这样学习，数学成绩或理工科成绩比大多数同学好或比别人轻松，碰到新题型新问题能较快找到解题思路和解题方法，大多数难题的解题思路用自己掌握的这套数学思想方法论和解题策略能自圆其说能自洽，并且自己确实是运用这套方法论和解题策略探索出解题思路和解题方法的，那这样自学就是对路的，否则还是跟随老师。
我们的教育方式培养出来的学生很多没有数学思维，没有掌握数学思想方法，不知道怎么学数学，没悟大道，到老都是迷糊的。等到他们做家长了，大盲带小盲，大迷糊带小迷糊，指导不了孩子的数学和物理学习，对如何解数学难题没有自己的一套思想思维方法论和解题策略。家庭条件好些的就上培训班，人傻钱多的活例子。其实只要掌握正确的学习方法，对大多数学生，只要有兴趣，愿意静下心来自学，通过自学，数学真不难，和老师和学校好坏关系不大。初高中，在老师课堂上掌握了基础知识，高中有些学生自己都能自学数学教科书上的基础知识。家长买几本好些的数学思想方法书籍让孩子在家或学校自学，自己思考，一遍看不懂就多看几遍。自己看书思考，印象深刻，几十年都不容易忘记。如果有好的数学书籍，老师用这些书籍教学或学生自学，其他情况再差，例如所谓的差学校，对大多数学生只要肯自学肯思考也是可以学好数学的。明白些的老师找些好的题目和试卷来讲解数学思想方法和训练学生的数学思维和解题技能，这个也不错，但我更推荐买好的数学书籍自学，只要一支笔几张纸几本好的书就行。自学数学也比花钱上培训班强多了，上培训班来回奔波浪费时间和金钱，并且培训班大多学的是雕虫小技，不悟大道，培养依赖老师的坏习惯，丢掉了培养自学能力的好机会，贻害终身。初中生还要上培训班学数学是很挫的，基础知识绝大多数学校都可以教好，掌握基础知识后学生自己看好书自学提高，所以数学学习和老师及学校好坏关系不大，主要是学生自己的事情，物理学习也是这样，其他学科的学习几乎也是这样，这样学习就抹平了所谓学校的差别和地域的区别，和上哪所初高中学校和大学没多大关系，即使不上大学，很多专业通过自学都能成才。现在网络基础设施和互联网、电商、资讯信息、出版业、交通、物流这样发达，不出户知天下，寒门学子农村学校的初高中孩子也能通过自学和大城市的几乎对齐，真在初高中掌握了数学思想方法，对大多数理工科专业，如果不考虑文凭，至少本科阶段不需要上大学不需要老师，在家自学也能学的很好，不就是那几本书，自学还能不受制老师和学校，挑选好书来学。除非操作性示范性强的或很前沿的，例如学游泳最好找老师。谁说没有好老师，好书就是好老师！用好书自学就是好老师在教你在点拨你，就是在与明师对话，真悟道明师本来就非常少，况且在现实生活中是很难碰到的！这是现实情况也是大实话，信不信由你。这样自学，何乐而不为？初高中，非要浪费那多时间在去培训班的路上，非要浪费钱去上没有数学思维之道的培训班？事倍功半，其出弥远，其知弥少！成为高层次人才要立足于自学。
自学，搞清楚知识体系和知识结构是怎样的，再找对应的好的书籍学习。把知识讲清楚讲透彻的书较多，对数学学习，还要看有关数学思维数学思想方法的书籍，但真正算得上数学思维明师的人极少，国内几乎没有。把数学思维方法和思想方法讲的比较透彻通透比较系统的书几乎没有，数学思维数学思想方法的好书是相对而言相比较而言，好比矮子中的长子。
如何找到好书，找明眼人推荐或一些网站上有推荐。对数学学科，讲数学思想方法的书籍，在淘宝上用‘数学思想’或‘数学思维’或’解题策略’或‘解题方法’关键词搜一下，例如有本浙江大学出版社的<更高高妙的中考数学>，我看了下目录，内容应该还凑合，好像这个出版社还有高中版。也可以用'数学竞赛'或‘奥数’关键词搜，这些竞赛书中有些稍微讲述了一些数学思想方法或解题技巧解题策略。就像看新闻一样，看过的一般比没看过的知道的要多一些，看过奥数书的比没看过的了解的数学知识要多一些，但不能只看奥数书，很多奥数书大多也是偏重数学知识，在数学思维方面的点化熏陶是不够的，所以还要学习透彻悟道数学思维人士的文章和书籍，弥补奥数书在数学思维训练上的不足。看这些竞赛书的目的不一定是参加数学竞赛，我们主要目的是掌握书中的数学思想方法，训练培养数学思维，这个才是核心。这类书籍中也有很多是滥竽充数的，有的一般般，不深刻，例如某大学校长写的<<数学基本思想18讲>>,这种书就比较鸡肋，食之无味，要注意识别。80年代，中国科大数学系几个教授写的书还不错，号称奥数五虎上将：常庚哲、严镇军、单墫、苏淳、杜锡录，他们都曾是国家队奥数教练，名至实归，但他们也没有编写出算得上通透系统的数学思维数学思想方法的书籍。
也可以看些思维方法论/思维学/创新方面的书籍或认知学、思维心理学、学习心理学、教育心理学方面的书籍。
要培养这样的思考习惯和学习方法，要悟道得道，自悟数学中的大道，提升自己的思想境界，别被其他因素误导误道。
如上，在学习方法上悟道，在思考方法上悟道，知晓了这些，理工科学习真不难。大学阶段，现在有图书馆和互联网，真不怎么需要老师，不需要经常去上课，自学就行，自学很好。
这样学习这样自学，不要急功近利，开始可能感觉比平常方式学习的人要慢些，但一旦悟道，以后就不可同日而语。
下一篇：数学思想方法揭秘-3-3(原创)。
