写在前面
这篇文章是对 Braun, Martin, "Differential Equations and Their Applications", 4th ed.,Chap.4,4.5, Springer 的一段数学模型的翻译（略去了一些不重要的部分）和讨论。这本书是我在本科大二“线性代数及微分方程”这门课的推荐书籍，它的特色在于在理论之外给出了各种各样的模型的讨论：人口模型，分岔理论，淋病传播（查完这个单词跳出的图片瞎了我的眼），电路网络……不过这本书本来就属于 Springer 的 "Applied Mathematics" 系列，况且外国的应用不像中国的应用充满了一种小学应用题的强行应用的感觉，在数学公式之余还能扩充各种学科的知识，还是挺有趣的。
文中以两个星号（**）开头的段落不含数学讨论，只关注数学模型的读者可以跳过，不印象连贯性。
理查德森的冲突模型 (L. F. Richardson's theory of conflict)
**我们接着要建立描述互相对抗的国家间军事实力变化的数学模型。两国都在防范对方可能发起的进攻，并且将自己的军事筹备建立在对方的军事实力变化上。我们的模型基于理查德森（Lewis Fry Richardson）的研究。尝试建立对于国际政治或者战争预测的科学模型已经不是什么新事情了，虽然并不可能，但人们并没有停止脚步。就像理查德森所说：“为什么那么多的国家从不情愿却又从不停止军备竞赛？因为他们都准循着机械的传统，因为他们无法控制国与国的均势。用方程来描述这个过程并不是不可能的。”
首先，设想两个国家 Jedesland 和 Andersland 并用 x=x(t) 和 y=y(t) 分别表示它们军备实力（译注：jedes 在德语中是 every 的意思， anders 在德语中是 another,different 的意思， das Land 在德语中是国家的意思，本书作者是德国人）。x 的增长率显然决定于 y 的大小和 Jedesland 对于 Andersland 本身具有的不满之情。在最简单的模型中我们把这两项分别记为 ky 和 g (k,g>0)。另一方面，军费将限制 x 的增长，我们将这项记为 -ax (a>0)。对于 y 同理。于是我们得到了下列微分方程：
**战争的起因在历史上始终争论不休。修昔底德（Thucydides）声称军备导致了战争，在《伯罗奔尼撒战争》中他写道：“我相信导致战争的那个未被承认却真实重要的原因，是斯巴达人对于雅典军事力量增长的恐惧”。一战时英国外交部大臣爱德华·格雷（Edward Grey）也写道：“各国力量的增加并不能为他们带来想要的安全感和对自己力量的正确认识，反而会带来的他国的担忧和对实力增长的警觉。欧洲的各类军力增长带来的恐惧和不安全感使得战争不可避免。这就是这场大战真正的根源。”
**另一方面，埃默里（L. S. Amery，1930年代英国议会议员）则强烈的反对这种观点。在下议院中提到格雷大臣的观点时，埃默里回复说：“恕我冒昧地说一句，这位尊敬的政治家所说的观点是完全错误的，事实上军力竞争和战争仅仅是国际间目标利益冲突的表现。战争是由于塞尔维亚，意大利以及罗马尼亚觊觎奥地利的领土，而奥地利奋起反抗而导致的。而法国在一旁等待收复阿尔萨斯（AlsacaLorraine）的野心更扩大了战争的规模。这些国家利益的冲突而不是军力本身的存在导致了战争。”
我们的微分方程把两种冲突因素都考虑了进来，仔细观察式子我们可以做出一些重要猜测。首先假设 g 和 h 都是零，那么 x(t)=y(t)=0 就是方程的一个平衡解。也就是说，当 x，y，g，以及 h 都置为零时，我们可以得到 x(t)=y(t)=0 。这种理想状态就是无武装无敌意的永久平衡，比如1817年以来的美加边界以及1905年以来的瑞典挪威边界。
这同时也表明了有敌意存在时这种平衡是不可能的。假设 x 和 y 在某一时刻同时等于0，那么我们得到
很显然两国将重新武装自己来对抗对方。
以上都是对称的情况，接着我们考虑单方面裁军也就是在某一时刻只有 y=0 的情况。这时
显然 y 不可能一直为零，也就是说单方面裁军的均势是不可维持的。这也就是德国在凡尔赛条约下裁军十万使得自己的武装力量少于领国后，在1933-1936年大量重新武装的原因。
当防御成为方程中的主要因素时，就会导致军备竞赛。也就是方程组：
其解有以下形式
因此当 A>0 时两国武装都将趋于无穷大。这也可以解释为一场大战即将来临。
很显然，我们的这个模型是不精确的，因为我们没有把国际合作和经济交易考虑进去。双边合作往往可以降低两国的敌意。这促使我们重新审视 x(t) 以及 y(t) 的定义：我们应把它们视为威胁量与合作量的差值。也就是说 x 是 Jedesland 的军费减去其对 Andersland 的出口量，对 y 同理。注意到合作往往是双赢，而军备竞赛往往带来更大一轮的竞赛。并且，国家往往有出于开销的考虑而减少合作的倾向，因此我们的修正意义代表了一种更普遍的情况。这里我们把修正记为
其中各项分别为 Jedesland 的军费支出，Jedesland 的出口量，Andersland 的军费支出和 Andersland 出口量。
原方程组存在单一的平衡解：
我们现在来考虑这个平衡解是否是稳定的。因此我们用以下形式改写方程：
将其平衡解设为
并设
时只有一个正根，意味着这个解不平衡。
接着我们考虑更为复杂的情况。显然，想要衡量 g 和 h 是不现实的，当我们可以通过合理估计得到 a，b，k 和 l 的数值。他们的单位是时间的倒数。物理学家称这种数值为弛豫时间 （relaxation times），因为当 y 和 g 都为零时：
因此弛豫时间意味着当国家在没有敌意也没有外界武装压力时军备自然减少到2.718分之一的时间。理查德森把这个时间视为国家议会的换届期。因此对于议会五年一换的英国，他给出了 a=0.2 的数值。
为估计 k 和 l 的数值，我们首先让 g=0 以及 y=y1，这样我们得到
因此 k 的倒数意味着当：(i) Andersland 的军备维持不变时，(ii) Jedealand 对 Andersland 无敌意，(iii) 不考虑军费费用时，Jedesland 追上 Andersland 的军备所需的时间。考虑德国在1933-1936年之间的变化。德国从几乎零武装到赶上领国的力量只花了三年。假设敌意的促进作用和军费的阻碍作用恰好抵消，那么对于德国我们得到 k=0.3 每年。更进一步，k 的值显然和国家的工业水平相关，那么若国家的工业水平是当时德国的一半，那么我们可以得到 k=0.15 每年，以此类推。
(译者注：此处作者用了 k 在式子中的表观意义（军备扩张能力）和实际决定因素（工业）来考虑 k 的值，这是数学建模的常用方法)
接着我们将其应用到1909-1914的欧洲军备竞赛。 法国和俄国结盟(Jedesland)，奥匈帝国和德国结盟(Andersland)，而意大利和英国并未明确加入任一方。当时两者的经济实力大约相等并且约等于德国单国经济实力的三倍(译者：前面不是1933年到1936年的德国吗，这个估计有点马)，因此令 k=l=0.9 。同时假设 a=b=0.2， 因此其平衡解是不稳定的。
显然我们的模型十分粗糙，而其中一个原因是因为我们假设两国的敌意是不随时间变化的。而事实上政治，经济，突发事件等都可能引起敌意的巨大变化（甚至可以是不连续的），因此我们将两个微分方程相加得到：其中历史关系如下表：
其斜率
原书Reference：Richardson, L. F.., "Generalized foreign politics," The British Journal of Psychology, monograph supplement #23, 1939
翻译完发现好累..后面还有一个以人数和武器建模的军队伤亡模型(并且用于硫磺岛比这个吻合的多的)不知道要不要继续..
