抽象代数简介

集合

交集·并集·差集

在中学阶段就学习过集合，部分内容不再赘述。以下是交集、并集、差集的概念：

$A\cap B=\{c|c\in A \land c\in B\}$
$A\cup B=\{c|c\in A \vee c\in B\}$
$A- B=\{c|c\in A \land c\notin B\}$

幂集

设 $S$ 是一个集合，那么 $S$ 的所有子集为成员构成的几何成为 $S$ 是幂集，记作 $P(S)$ 。
$P(S)=\{A|A\subseteq S\}$

笛卡尔积

设 $A,\ B$ 是两个集合，定义集合

$A\times B=\{(a,\ b)|a\in A,\ b\in B\}$

称为 $A$ 与 $B$ 的笛卡尔积，又称卡氏积，集合积。

基数

集合 $A$ 中元素个数称为集合 $A$ 的基数，记作 $|A|$ 。如果 $A$ 是无限的，则 $|A|=\infty$ ，称 $A$ 是无限集，否则是有限集。

关系

集合中的元素相互之间可能有关系（也可能没有关系）。例如全校的学生构成一个集合，某些学生可能是同班同学，那么他们就有关系。
等价关系，类似于数集中的“等于”的关系，要求满足：

自反律 $\forall a\in A, a \sim a$ ；
传递律 $\forall a,b,c \in A$ ，如果 $a \sim b, b\sim c$ ，那么 $a\sim c$ ；
对称律 $\forall a,b \in A$ ，如果 $a \sim b$ ，那么 $b\sim a$ 。

偏序关系，类似于数集中的“大于等于/小于等于”的关系，要求满足：

自反律 $\forall a\in A, a \preceq a$ ；
传递律 $\forall a,b,c \in A$ ，如果 $a \preceq b, b\preceq c$ ，那么 $a\preceq c$ ；
反对称律 $\forall a,b \in A$ ，如果 $a \preceq b, b\preceq a$ ，那么 $a=b$ ；

等价不一定是等于
例如一个学校的学生构成的集合，同班就是一种等价关系。甲乙同班，乙丙同班，那么甲丙同班……
我们把和 $a$ 都等价的元素构成的集合，称为等价类：
$[a]=\{x\in A|x\sim a\}$

以 $A$ 的所有等价类构成的集合，称为 $A$ 关于等价关系 $\sim$ 的商集。

群

半群

定义：设 $M$ 是一个非空集合，满足

$M$ 有一个运算（常把这个运算写作乘法 $\cdot$ ）；
运算满足结合律 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ 。

那么称 $(M,\cdot )$ 为一个半群。

例如，正整数的集合 $\mathbb{Z}^+$ 关于加法运算 $(\mathbb{Z}^+, +)$ 是半群，客观上还满足交换律，是“加法半群”。

再如矩阵的乘法满足结合律，但是不满足交换律，所以固定阶数的矩阵也可以看作半群。

幺半群

定义：设 $M$ 是一个非空集合，满足

$M$ 有一个运算（常把这个运算写作乘法 $\cdot$ ）；
运算满足结合律 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ ；
存在特定元素 $e\in M$ ，使得 $\forall a\in M, ea=a=ae$ 。

那么称 $(M,\cdot )$ 为一个幺半群。这样特殊的元素 $e$ 被称为“单位元”，记作 $1_M$ 。

前文提到的 $(\mathbb{Z}^+, +)$ 不是幺半群，因为它没有单位元。
而矩阵有单位矩阵，所以是幺半群。

群

定义：设 $G$ 是一个非空集合，满足

$G$ 有一个运算（常把这个运算写作乘法 $\cdot$ ）；
运算满足结合律 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$ ；
存在特定元素 $1_G\in G$ ，使得 $\forall a\in G, 1_Ga=a=a1_G$ ；
对 $\forall a\in G$ ， $\exists a'\in G$ 使得 $aa' = 1_G = a'a$ 。

那么称 $(G,\cdot )$ 为一个群。这里提及的 $a'$ 关于 $a$ 是唯一的，称其为逆元，记作 $a^{-1}$ 。即 $aa^{-1}=1_G=a^{-1}a$ 。

例如，整数集 $\mathbb{Z}$ 关于加法运算 $(\mathbb{Z}, +)$ 是群，客观上还满足交换律，是“加法群”。
群如果满足交换律，就称为交换群，又称 Abel 群（阿贝尔群），又称加群。

例如，所有的 $n$ 阶可逆复矩阵构成的集合是一个群，可以称为“n级一般线性群”。

映射·变换·对称

映射在中学阶段已经接触过，此处不表。
若矩阵 $A$ 自己到自己的映射，称为 $A$ 的变换。用 ${\rm Trans} (A)$ 来记集合 $A$ 所有变换的集合。 ${\rm Sym} (A)$ 来记集合 $A$ 所有可逆变换的集合。

同态·同构

设 $G, H$ 是群， $\sigma : G \to H$ 是从群 $G$ 到群 $H$ 的映射，如果这一映射满足

$\forall a,b \in G, \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$

则把这一映射称为同态。

如果 $\sigma : G \to H$ 是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是同构。

环

定义：设 $R$ 是一个非空集合，满足

$(R, +)$ 是一个交换群（加法结合律、加法交换律、零元、相反数）；
$(R, \cdot )$ 是一个半群（乘法结合律）；
乘法对加法满足左、右分配律。

那么称 $(R,+,\cdot )$ 为一个环。

幺环

在环的基础上，有乘法单位元 $1_R$ ，称为“幺环”。

定义：设 $R$ 是一个非空集合，满足

$(R, +)$ 是一个交换群（加法结合律、加法交换律、零元、相反数）；
$(R, \cdot )$ 是一个半群（乘法结合律）；
乘法对加法满足左、右分配律。
$|R|>1$ ，并且 $(R, \cdot )$ 是一个幺半群。

那么称 $(R,+,\cdot )$ 为一个幺环。

交换环

在环的基础上，有乘法的交换律，称为“交换环”。

定义：设 $R$ 是一个非空集合，满足

$(R, +)$ 是一个交换群（加法结合律、加法交换律、零元、相反数）；
$(R, \cdot )$ 是一个半群（乘法结合律）；
乘法对加法满足左、右分配律。
满足乘法（ $\cdot$ ）结合律

那么称 $(R,+,\cdot )$ 为一个交换环。

例子

$(\mathbb{Z},+,\cdot)$ 是交换幺环；
$(\mathbb{C},+,\cdot)$ 是交换幺环；
$n$ 阶复矩阵 $(M_n(\mathbb{C}),+,\cdot)$ 是幺环；
……

同态·理想

设 $R, S$ 是环， $\sigma : R \to S$ 是从环 $R$ 到环 $S$ 的映射，如果这一映射满足

$\forall a,b \in R, \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b)$

$\forall a,b \in R, \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$

则把这一映射称为同态。

如果 $\sigma : R \to S$ 是单射，就是单同态；若是满射，就是满同态；如果是双射，就是同构。

如果 $R, S$ 均为幺环，在同态的基础上，满足 $\sigma(1_R)=1_S$ ，则称为幺同态。

设 $R$ 是环， $I$ 是它的一个非空子环，满足

$(I,+)$ 是 $(R,+)$ 的子群；
$\forall a\in I,r \in R$ 有 $ra\in I, ar\in I$ 。

则把 $I$ 称为 $R$ 的理想。

一个非零环 $R$ 至少有两个理想 $0$ 和 $R$ 自身，分别称为零理想和单位理想，二者合称平凡理想。

域

零因子和整环

对于环 $R$ 的非零元 $a$ ，如果存在另一个非零元 $b$ ，使得 $ab=0$ ，则称 $a$ 为左零因子。类似地可以定义右零因子。
在交换环中，零因子没有左右之分。

没有零因子的环，称为整环。

整环是交换的，满足消去律的环。

可逆元

如果 $a\in R$ 可逆，有唯一的逆元 $a^{-1}$ 与之对应。

记 $R^\times=\{a\in R|\exists a^{-1}\}$ 为环 $R$ 的所有可逆元的集合，这个集合是一个群。

除环和域

如果一个环 $D$ 的非零元都可逆，即 $D^\times = D - {0}$ ，那么称 $D$ 为除环。

交换的除环称为域。

在中学数学中，接触过的有理数集合 $\mathbb{Q}$ 、实数集合 $\mathbb{R}$ 和复数集合 $\mathbb{C}$ 都是域。
再例如集合 $\{a+b\sqrt2\ |\ a,b \in \mathbb{Q}\}$ 也是域，它是 $\mathbb{C}$ 的非空子域。

集合的度量

前文提及用基数描述集合中元素的个数。但是当集合中元素有无穷多的时候，就有些无能为力。

例如偶数集合是整数集合的一个自己，看上去似乎是“偶数集合中元素的个数只有整数的一半”，但是每一个偶数除以 2 之后都是一个整数，每一个整数乘以 2 之后都是一个偶数，如此说来，偶数集合的元素个数应该和整数集合元素个数一样多。

对等

定义：若集合 $A$ 和 $B$ 之间能够建立一个双射，则称这两个集合对等，记为 $A\approx B$ 。

集合之间的对等关系是一种等价关系，满足自反律、传递律、对称律。

可数集·不可数集

和自然数集合 $\mathbb{N}=\{0,1,2..\}$ 对等的集合称为可数无穷集，简称可数集。它需要存在一个和 $\mathbb{N}$ 一一对应的双射。

不和自然数集合 $\mathbb{N}$ 对等的无穷极和，称为不可数无穷集，简称不可数集。

整数集合 $\mathbb{Z}$ 是一个可数集，把整数如下排列：

$0,-1,1,-2,2,-3,3 ...$

可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射 $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$ 。

偶数集合、完全平方数集合等，都是可数集。

有理数集合 $\mathbb{Q}$ 是一个可数集，把有理数如下排列：

$0,-1,1,1/2,2,-1/2,-2,1/3,3,-1/3,-3 ...$

可以写出这个序列的通项公式，从而构建了双射 $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{N}$ 。

1873 年，康托证明了有理数集合 $\mathbb{Q}$ 是一个可数集。

平面直角坐标系中，自然数点集 $\mathbb{N}^2=\{(x, y) | x, y \in \mathbb{Z}\}$ 是一个可数集，类似于有理数集合的证法。

代数数集合也是一个可数集。实数集合是不可数集合。

连续统

和自然数集合 $\mathbb{N}=\{0,1,2..\}$ 对等的集合是可数集。

类似地，和实数集 $\mathbb{R}$ 对等的集合是连续统。

抽象代数简介

集合

交集·并集·差集

幂集

笛卡尔积

基数

关系

群

半群

幺半群

群

映射·变换·对称

同态·同构

环

环

幺环

交换环

同态·理想

域

零因子和整环

可逆元

除环和域

集合的度量

对等

可数集·不可数集

连续统

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