指数平滑法的思考

指数平滑法本质究竟是什么？
是一种数据转换方式？还是一种拟合预测算法？

从原理来讲，指数平滑法给每个历史数据赋权

指数平滑法核心原理是认为过去的状态在某种程度上会持续到未来。因此指数平滑法就是对历史数据的权重分配，使得新数据有较大权重，旧数据给与较小权重，预测值根据历史数据和权重获得。

从应用上讲，指数平滑法可用于修匀序列，也可用于预测。

指数平滑法中平滑系数的选择研究一文中指出[1]：
指数平滑法的作用主要体现在两个方面：一是用于预测，二是用于修匀历史数据，以测定时间序列的长期趋势。

一、作用

（1）修匀历史数据

有些场景只是想要获得整体趋势，忽略不规则和随机扰动的影响。例如经济总体趋势、消费发展趋势等。
通过对非正常波动的统计数据进行修匀，能使序列反映其基本的发展趋势，从而得出正确的判断，这有助于我们准确把握经济形势[2]。

下图为不同平滑系数的情况下，趋势数列和原数列的关系。参数 $\alpha$
值越小，序列趋势越明显，随着 $\alpha$ 值的增大，修匀数据的能力有降低的趋势。

从修匀数据的角度而言，目标是获得整体平稳趋势，参数 $\alpha$ 应该取小一些。

（2）预测

从预测角度，预测值和观察值越接近，预测效果越好。

二、相关公式

指数平滑法就是对历史数据的权重分配，使得新数据有较大权重，旧数据给与较小权重，根据平滑次数的不同，分为一指数平滑、二指数平滑、三指数平滑等。

设时间序列为 $x_1,x_2,...,x_n$ ， $t$ 为第t个时刻。

（1）一指数平滑法[4]

平滑公式： $S_t^{(1)} = \alpha x_t+(1-\alpha)S_{t-1}^{(1)}$
预测公式： $x’_{t+1} = S_t^{(1)}= \alpha x_t + (1-\alpha) x'_{t}$

平滑公式：

初始值 $S_1^{(1)}$ 根据序列的长度，可以直接取 $S_1^{(1)}=x_1$ ，也可以取前几个 $X$ 的均值。
$S_1^{(1)}=x_1$
$S_2^{(1)} = \alpha x_2+(1-\alpha)S_1^{(1)}$
$S_3^{(1)} = \alpha x_3+(1-\alpha)S_2^{(1)} = \alpha x_3+ \alpha(1-\alpha) x_2 + (1-\alpha) ^2 S_1^{(1)}$
$S_4^{(1)} = \alpha x_4+(1-\alpha)S_3^{(1)} = \alpha x_4+ \alpha(1-\alpha) x_3+ \alpha (1-\alpha) ^2 x_2 + (1-\alpha) ^3 S_1^{(1)}$
···
$S_n^{(1)} = \alpha x_n+ \alpha(1-\alpha) x_{n-1}+...+ \alpha (1-\alpha) ^{n-2} x_2 + (1-\alpha) ^{n-1} S_1^{(1)}$
拆解平滑公式后发现，指数平滑值 $S_t$ 为前 $t$ 个历史值 $x_1,...,x_t$ 的权重组合。 $(1-\alpha)$ 为小数，指数次幂越大，值越小，从而使得新数据有较大权重，旧数据给与较小权重。

（2）二指数平滑法

二次指数平滑是在一次指数平滑的基础上再做一次平滑。
原始数据 $[x_1,x_2,...,x_n]$ 进行一次平滑操作后为 $[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]$ ；
$[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]$ 再进行一次平滑操作为 $[S_1^{(2)},S_2^{(2)},...,S_n^{(2)}]$

平滑公式： $S_t^{(2)} = \alpha S_t^{(1)}+(1-\alpha)S_{t-1}^{(2)}$
参考以上推理展开后应该为：
$S_1^{(2)} = S_t^{(1)}$
$S_2^{(2)} = \alpha S_2^{(1)} + (1-\alpha) S_1^{(2)}$
$S_3^{(2)} = \alpha S_3^{(1)} + (1-\alpha) S_2^{(2)} = \alpha S_3^{(1)} + \alpha (1-\alpha) S_2^{(1)} + (1-\alpha)^2 S_1^{(2)}$
···
$S_n^{(2)} = \alpha S_n^{(1)} + \alpha (1-\alpha) S_{t-1}^{(1)} +...+ \alpha (1-\alpha) ^{n-2}S_{t-1}^{(1)} + (1-\alpha)^{n-1} S_1^{(2)}$
二次指数平滑在一次指数平滑的基础上再做一次平滑。

（3）三指数平滑法

原始数据 $[x_1,x_2,...,x_n]$ 进行一次平滑操作后为 $[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]$ ；
$[S_1^{(1)},S_2^{(1)},...,S_n^{(1)}]$ 再进行一次平滑操作为 $[S_1^{(2)},S_2^{(2)},...,S_n^{(2)}]$ ；
$[S_1^{(2)},S_2^{(2)},...,S_n^{(2)}]$ 再进行一次平滑操作为 $[S_1^{(3)},S_2^{(3)},...,S_n^{(3)}]$

三、和拟合算法的比较

令 $f(x)=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$ ，求的最优的 $[a_1,a_2,...,a_n]$ 组合，此时的 $f(x)$ 就是拟合的曲线。这条曲线要尽可能的还原实际数据的游走模式。

而在指数平滑中，每个x_1的权重根据新数据有较大权重，旧数据给与较小权重快速分配，获得的曲线是实际数据修匀后的结果。

四、最优参数alpha

五、小结

指数平滑法“修匀"历史数据，获得基本数据模式，从而预测走向。
指数平滑法并不单纯是一种数据转换方式
指数平滑法不是拟合算法，拟合算法是让曲线尽可能的与历史数据相近、指数平滑是忽略随机扰动，获得历史数据的基础走势。
拟合算法的预测是在获得最优拟合函数的基础上预测下一刻数值，而指数平滑法是在“修匀"数据的基础上预测下一步。

参考资料

[1] 指数平滑法中平滑系数的选择研究_王长江：https://wenku.baidu.com/view/1eca108590c69ec3d5bb75fd.html
[2] 非正常波动统计数据修匀方法研究以福建省消费数据为例：https://www.doc88.com/p-899246394173.html
[3] 指数平滑法在小浪底大坝变形预测中的应用：https://www.jinchutou.com/p-31051887.html
[4] 公式参考：https://wenku.baidu.com/view/8389e62a4b73f242336c5ff2.html