分类讨论——类比探究:由线段的“猫眼”到角的“和谐线”

问题源于2021-2022新密市七年级上学期期末摸底考试。

其中,第(1)个问题由24–(–6)即可得结果为30;第(2)个问题由–6+3×3即可得结果为3;第(3)个问题,过程如下:

在第(4)个问题中,利用线段之间的倍数关系定义了“猫眼”这个新定义。由于是AP、BP和AB这三条线段(其中点P在线段AB上),其中一条线段的长度是另外一条的三倍,所以就涉及到分四种情况进行分类讨论。具体的四种情况可画图和分析解答如下:(也可让点P从点A运动至点B,在动态运动的过程中,发现有4个时刻是满足“猫眼”的定义的。)

在学习这一部分的内容时,有另外一种类型就是关于角的新定义,并也需进行分类讨论。在复习的过程中,将这两个问题放之于前后,以对比的方式进行学习,实现数学思维的迁移与升华。问题如下(源于2022秋必刷.郑州名师精研预测卷一):

其中,第(1)问,旋转的过程中,当旋转角在0~90°之间,则有∠AOC+∠BOC=90°(如下图1);当旋转角在90°~180°之间,则有∠AOC-∠BOC=90°(如下图2)。

第(2)问,运动时间为9秒时,旋转的角度为15°×9=135°,我们可以画图如下:

此时,易得OD平分∠AOB,OB平分∠DOC。

第(3)问的①,由于∠AOB=2∠BOC,所以OC是和谐线。而②在旋转过程中OC为和谐线时,求t的值。即在旋转的过程中,满足∠AOB,∠AOC,∠BOC三个角中,其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍时即可。可以从动态旋转(顺时针旋转180°)的过程去研究,由动到静,则可发现有5个时刻可满足和谐线的定义。画图和分析解答如下:


无论是线段中定义的“猫眼”,还是角中定义的“和谐线”,其共同之处就在于,三条线段/三个角,三选二运用一定的倍数的关系进行定义。由于谁是谁的几倍不确定,故而涉及到分类讨论。具体有几种情况,取决于点在运动的过程中/线在旋转的过程中,有几个时刻满足其倍数关系。画出图形(可分别画图,在不易引起混淆的情况下也可画在一个图形中),写出做题大框架(每种分类的条件),在每种情况下,分别各个击破求值即可。

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