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思路框架

在描述统计中，正态分布的一组数据有两个最重要的特征，一个是如何集中的（均值$\mu$），另一个是如何离散的(方差$\sigma^2$)。据此可以划分出大部分数据存在的范围（95%的数据位于$(\mu-1.96\sigma,\mu+1.96\sigma)$的命中区间之内）。不同数据可以放在同一个参考系（标准分$z=\cfrac {x-\mu} \sigma$）中比较。

推论统计是通过部分数据（样本）的特征（样本统计量，样本均值$\bar x$或样本方差$s^{2$），来推测估计全体数据（正态总体）的特征（总体参数，总体均值$\mu$或总体方差$\sigma}2$）。这个推测的可信程度（置信区间）是运用假设检验的方法来确认的，即能够让样本统计量的观测值进入命中区间的总体参数才能被接受。解满足命中区间（$上界 \leq 公式 \leq 上界$）的不等式即可。

若估计$\mu$：

|条件|公式|分布
|--
|已知$\sigma^2$|$\cfrac {\bar x - \mu} {\cfrac \sigma {\sqrt n}}$|$\bar x$呈正态分布
|未知$\sigma^2$|$\cfrac {(\bar x - \mu) \sqrt {n-1}} s$|$\bar x$呈自由度$(n-1)$的t分布

若估计$\sigma^2$：

|条件|公式|分布
|--
|已知$\mu$|$\sum _{i=1} ^n (\cfrac {x_i-\mu} \sigma)^2$|$\sigma2$呈自由度$n$的卡方分布
|未知$\mu$|$\cfrac {ns^2} {\sigma^2}$|$s2$呈自由度$(n-1)$的卡方分布

通过绘制直方图，可以直观的反映出数据（样本统计量的观测值）与其出现的相对频数（概率）之间的关系，即置信区间（观测值的命中区间）与概率密度曲线下的面积（相对频数之和）之间的关系。越趋近于曲线中部的数据出现的概率越大，在曲线尾部的数据几乎不可能出现。以此可作为在假设检验中接受推论假设（$|统计量|>临界值$，或$p<\alpha$）的依据。

均值、方差

统计量是指用一个数来概括一组数据的特征。样本的统计量对应于总体参数。

例：投一组硬币。每次投5枚就是5个样本，即观测这一组样本的数量（统计量）为5枚。一共投了4次，则总的观测数量（总体参数）为20枚。

均值$\mu$（算术平均值）是合计意义上的平均数。
$$\mu=\frac 1 n \sum_{i=1}^n x_i=\sum 组值 \times 相对频数$$

方差$\sigma^2$反映了数据的分散（波动）程度。
$$\sigma^2 = \frac 1 n \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2=\sum (组值-\mu)^2 \times 相对频数$$
其中，$x_i - \mu$称为偏差，$\sigma$称为标准差，即方差的开平方。

例：制作频数分布表，并计算$\mu$、$\sigma^2$

|数据分组|组值|频数|相对频数|累积频数|累积相对频数
|--
|1,2,3|2|3|0.3|3|0.3
|4,5,5,5,6|5|5|0.5|8|0.8
|8,8|8|2|0.2|10|1.0

相对频数为各组频数占全体的比例。各组相对频数之和为1。

$$
\begin{split}
\mu & = \frac{\sum 组值\times频数} {数据总数} \
& = \sum 组值 \times \frac{频数} {数据总数} \
& = \sum 组值 \times 相对频数 \
& = 2\times0.3 + 5\times0.5 + 8\times0.2 \
& = 4.7
\end{split}
$$
$$
\begin{split}
\sigma^2 & = \sum (组值-\mu)^2 \times 相对频数 \
& = (2-4.7)^2 \times 0.3 + (5-4.7)^2 \times 0.5 + (8-4.7)^2 \times 0.2 \
& = 4.41
\end{split}
$$

以观测的数据为横轴，其相对频数为纵轴，画出直方图，可知：

• 数据在$\mu$周边分布，多次出现的数据对$\mu$影响较大
• 若直方图左右对称，对称轴在$\mu$上

$\mu$是从数据的分布中取出的代表数，可认为数据以$\mu$为基点，左右扩散。评价这种扩散、分散的标准就是$\sigma$。$\sigma$将$\mu$的离散方式进行平均化。此时无论是正方向，还是负方向的离散，都用正数进行评价，避免相互抵消的平均。

例：全班考试成绩$\mu=60$，某人成绩$x=85$。当$\sigma=20$时，这是一般的水平。当$\sigma=10$时，那就是优秀了。

$\mu$与$\sigma$有如下性质：
|统计量|$\mu$|$\sigma^2$|$\sigma$
|--
|加上常数$c$|$\mu+k$|$\sigma^2$|$\sigma$
|扩大常数$k$|$\mu \times k$|$\sigma^2 \times k^2$|$\sigma \times k$

全部数据经过标准分$z$处理可得，$\mu=0$，$\sigma=1$。相当于为不同数据之间的比较建立了统一的参考系。显然，$1\sigma$的数据比$2\sigma$的数据更具代表性。

$$z=\cfrac {x - \mu} \sigma$$

例：甲乙球员的命中率$\mu$分别 为70，40，$\sigma$分别为20，10。本次训练的命中率$x$分别为75，55。则$z$分别为$\cfrac {75-70} {20}=0.25<1$，$\cfrac {55-40} {10}=1.5>1$。故甲球员的命中率更稳定。

其它类型的平均值：
几何平均值$\bar x = \sqrt [n] {\prod {i=1} ^n x_i}$
均方根值$x{rms} = \sqrt {\cfrac 1 n \sum _{i=1} ^n x_i ^2}$
调和平均值$H=\cfrac n {\sum _{i=1} ^n \cfrac 1 x_i}$
加权平均值$\bar x = \cfrac {\sum _{i=1} ^n w_i x_i} {\sum _{i=1} ^n w_i}$

正态分布

制作直方图的过程，其实就是数数，确定观测值与频数的关系。将直方图中分组幅度无限缩小，得到$x$的正态分布图。这是由部分事实推论全体的归纳推论。

由图可知，正态分布确定了观测值$x$、曲线位置$\mu$、曲线形状$\sigma$三者与相对频数$z$之间的关系：

$$
z = \cfrac {x-\mu} \sigma
$$

当$\mu=0$，$\sigma=1$时，称为标准正态分布。性质如下：

• 概率密度函数关于$\mu$对称
• $\mu$、中位数、众数，三者相等
• 曲线之下的面积（相对频数之和）恒等于1。$(\mu-1\sigma,\mu+1\sigma)$区间的面积0.6826（70%弱），$(\mu-2\sigma,\mu+2\sigma)$区间的面积0.9544（95%强），$(\mu-1.96\sigma,\mu+1.96\sigma)$区间的面积0.95

推广到一般正态分布，

• 当$\mu<0$时，曲线左移。当$\mu>0$时，曲线右移
• 当$\sigma^{2<1$时，曲线高且窄。当$\sigma}2>1$时，曲线平且宽
• 通过$z$回归到标准正态分布

例：一次性投$n$枚硬币，正面的数量近似于$\mu=\cfrac n 2$，$\sigma=\cfrac {\sqrt n} 2$的正态分布。

利用正态分布的性质，在95%区间(正态曲线面积为0.95）上，以$-1.96 \leq \cfrac {x-\mu} \sigma \leq +1.96$为工具，有三种类型的应用：

• 已知$\mu$与$\sigma$，预测$x$的取值范围，即命中区间
• 已知$x$与$\sigma$，检验$\mu$的合理性，即假设检验
• 已知$x$与$\sigma$，估计$\mu$的取值范围，即置信区间

命中区间

预测命中区间，是在总体参数$\mu$与$\sigma$已知的情况下，针对未发生事件$x$的预测。

例：一次投$n=36$枚硬币，预测正面的数量$x$的范围。
由正态分布可知，$\mu=\cfrac n 2 =\cfrac {36} 2=18$，$\sigma= \cfrac {\sqrt n} 2 =\cfrac {\sqrt {36}} 2=3$。解不等式
$$
\begin{gather}
-1.96 \leq \cfrac {x-\mu} \sigma \leq +1.96 \
-1.96 \leq \cfrac {x-18} 3 \leq +1.96 \
12.12 \leq x \leq 23.88
\end{gather}
$$
结论为，一次投36枚硬币，有95%的可能性，正面数量在12到24枚。

假设检验

假设检验中，假设是指“关于总体的一个普遍性论断”，检验是指“看从样本得出的结论能否推论到总体”。假设检验的逻辑是，命题只能被证否而不能被证明。个案（样本）不足以证明命题（总体），但可以否定命题（总体）。

1. 首先设置一个关于总体的假设，称为虚无假设$H_0$。然后设置$H_0$的否命题，称为备选假设$H_1$。如果证否了$H_0$，相当于证明了$H_1$。所以假设检验就是要试图证否$H_0$，或者说拒绝$H_0$（无法拒绝就只能接受）
2. 由于抽样的原因，样本并不可能绝对地证否$H_0$。在个案中，小概率事件可以等同于不可能发生的事件。在此意义上，需要事先约定在一个错误概率（即显著水平$\alpha$）上去拒绝$H_0$（有$\alpha$的可能性推论错误）

例：若有$10$枚硬币正面，则一次投出的硬币数量$n=36$是否合理？

第一步：构建假设
$H_0$：$n=36$，硬币总量为36枚
$H_1$：$n \neq 36$，硬币总量不是36枚

第二步：设置检验显著水平
$\alpha = 0.05$（即双侧位于$(\mu -1.96\sigma , \mu +1.96\sigma)$之外的曲线面积，$1-\alpha$为95%置信水平）。从正态图上看，$\cfrac \alpha 2$对应的坐标称为临界值。观测值$x$对应的面积称为统计量$p$值。

第三步：计算统计量进行检验判断

由正态分布可知，$\mu=\cfrac n 2 =\cfrac {36} 2=18$，$\sigma=\cfrac {\sqrt n} 2 =\cfrac {\sqrt {36}} 2=3$。因$观测值x=10 < 18=\mu$，故样本位于$\mu$的左侧。

一种方法是比较观测值与临界值。
由$左侧临界值=\mu - 1.96\sigma = 18 - 1.96 \times 3=12.12$可知，$观测值x=10 < 12.12=临界值$。

另一种方法是比较$p$与$\alpha$。
由$\cfrac {x-\mu} \sigma = \cfrac {10- 18} 3 = -2.67$，查正态分布表或公式函数计算可知对应面积为$0.9962$。在左侧，$p =1 - 0.9962 = 0.0038 < 0.025 = \cfrac {0.05} 2 = \cfrac \alpha 2$。

第四步：得出结论
如果要拒绝$H_0$，即在$H_0$出现了小概率事件（不太可能发生的事件），满足以下条件之一即可：

• 比较观测值与临界值，若样本位临界值范围之外
• 比较$p$与$\alpha$，若$p<\alpha$（双侧），或$p < \cfrac \alpha 2$（单侧）

结论为，一次投36枚硬币出现10枚正面，属于小概率事件（0.38%的可能性，不太可能发生），故硬币数量不合理。这个结论有5%的可能性出错。

置信区间

区间估计是指，在样本已知的情况下，推测未知真实值的总体参数的取值范围。以一定固定结构概率性出现的是样本观测值，而总体参数真实值是确切的，只是不知道是多少，但会有一定的概率落在样本的取值范围内。置信区间表达了对出现的观测值的可信程度（即总体参数会落在样本命中区间的概率的可信程度）。从针对总体参数的假设检验可知，在排除了$\alpha$的错误概率后，剩下的$1-\alpha$就是观测值出现概率的可信程度。$1-\alpha$对应的区间就是置信区间。

从正态分布图上看，全部观测值$x$中，有95%出现在$(\mu-1.96\sigma,\mu+1.96\sigma)$之内。总体参数$\mu$也落在这个区间内的可信程度有95%。称之为，由95%的样本观测值$x$构造的总体参数$\mu$的置信区间。

例：若有$10$枚硬币正面，则一次投出的硬币数量$n$有多少？
由正态分布可知，$\mu=\cfrac n 2$，$\sigma=\cfrac {\sqrt n} 2$，观测值$x=10$。$\mu$的95%置信区间满足：
$$
\begin{gather}
-1.96 \leq \cfrac {x-\mu} \sigma \leq +1.96 \
-1.96 \leq \cfrac {10 - \cfrac n 2} {\cfrac {\sqrt n} 2} \leq +1.96 \
12.95 \leq n \leq 30.89
\end{gather}
$$
结论为，有10枚硬币正面，则有95%的把握说，一次投出的硬币数量在13到30枚之间。

大数法则、中心极限定理

推论统计的目标是，从总体数据抽样出来的样本数据中，对总体的数据特征进行推测。如果不假设总体的分布，可以采用非参数统计。如果假设总体为正态分布，则可以采用大样本估计。

从制作直方图的过程中，抽取一组样本（分组），取其组值（样本均值$\bar x$），可以观察到：

• 相对频数反映了总体数据的构成情况。换言之，样本的观测值$x$的分布是受总体的数据特征制约的
• 从$\bar x$的渐近趋势上看，当抽样数量越多，$\bar x$接近总体均值$\mu$的可能性越高。这就是大数法则
• 从$\bar x$的数据分布上看，当抽样数量越多，$\bar x$分布越近似于正态分布。这就是中心极限定理

由此推论：正态总体取$n$个样本均值$\bar x$的分布仍为正态分布。

例：投一组硬币正面的数量，身高，股票价格等现象，均表现为正态分布。

从正态图形上，比较样本观测值$x$，与样本均值$\bar x$的分布：

|分布（直方图横轴上的观测值）|均值|标准差|形状
|--
|$x$|$\mu$|$\sigma$|平且宽
|$\bar x$|$\mu$|$\cfrac \sigma {\sqrt n}$|高且窄

由正态分布性质可知，对于均值为μ、标准差为σ的一个正态总体的n个样本均值$\bar x$来说，其95%预测命中区间为：
$$-1.96 \leq \cfrac {\bar x - \mu} {\cfrac \sigma {\sqrt n}} \leq +1.96$$

例：若正态总体的$\mu=200$，$\sigma=10$时，样本数量$n$分别为1，4，16，预测95%命中区间，分别为(180.4 , 219.6)，(190.2 , 209.8)，(195.1 , 204.9)。可见观测数据越多，预测区间越狭窄，预测精度越高。

正态总体，已知总体方差，估计总体均值

由样本均值$\bar x$的正态分布性质，可推测总体参数$\mu$的置信区间。实施假设检验，能够让样本均值$\bar x$进入预测命中区间的总体均值$\mu$，才能被授受。这个区间就是总体均值$\mu$的置信区间。

例：一批产品的重量允许有平均10克的浮动，从中抽取25个样品，其样品的平均重量80克。则这些产品的平均重量$\mu$有多少克？

由样本均值正态分布可知，$n=25$，$\sigma=10$，$\bar x=80$。$\mu$的95%置信区间满足：

$$
\begin{gather}
-1.96 \leq \cfrac {\bar x - \mu} {\cfrac \sigma {\sqrt n}} \leq +1.96 \
-1.96 \leq \cfrac {80 - \mu} {\cfrac {10} {\sqrt {25}}} \leq +1.96 \
76.08 \leq \mu \leq 83.92
\end{gather}
$$
结论为，这批产品平均重量在76.08至83.92克之间的可信度为95%。

正态总体，已知总体均值，估计总体方差——卡方分布

在一般正态总体中抽取$n$个样本，将方差公式中的$\sum _{i=1} ^n (x_i - \mu)^2$这一部分，使用$\cfrac {x_i - \mu} \sigma$标准化。计算统计量$\chi^2=\sum _{i=1} ^n (\cfrac {x_i - \mu} \sigma)^2$的值，作为直方图的横轴观测数据，得到正态总体的总体方差的自由度$n$的卡方分布。

卡方分布的图形呈过山车形：

• 由于平方和形式，曲线位于第一象限，故不是正态分布
• 卡方分布由正态分布构造，不同的自由度，就是不同的曲线
• 0附近的相对频数较大，曲线从左到右下落
• 随着自由度增加，远离0的相对频数增高，曲线的高度向右变低，近似于正态分布

例：正态总体的$\mu=80$，抽取76、85、83三个样本。求$\sigma^2$的置信区间。
查表可知，自由度3的卡方分布，左侧$\cfrac \alpha 2 = 0.975$以上面积为0.2157，右侧$\cfrac \alpha 2 = 0.025$以上面积为9.3484。根据假设检验，能够使卡方值在95%命中区间的$\sigma^2$才能被接受：
$$
\begin{gather}
0.2157 \leq \sum _{i=1} ^n (\cfrac {x_i-\mu} \sigma)^2 \leq 9.3484 \
0.2157 \leq \cfrac {(76-80)^2 + (85-80)^2 + (83-80)^2} {\sigma^2} \leq 9.3484 \
5.34 \leq \sigma^2 \leq 231.80
\end{gather}
$$

正态总体，未知总体均值，估计总体方差

在一般正态总体中抽取$n$个样本，在方差公式中使用样本均值$\bar x$，然后加入总体方差$\sigma^2$参与变换，可得样本方差：
$$s^2 = \frac 1 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2=\cfrac {\sigma^2} n \sum _{i=1} ^n (\cfrac {x_i-\bar x} \sigma)^2$$

可证明，统计量$\chi^2=\sum _{i=1} ^n (\cfrac {x_i-\bar x} \sigma)^2= \cfrac {ns^2} {\sigma^2}$为正态总体的样本方差的自由度$(n-1)$的卡方分布。

例：取一批零件的5个样品，重量分别为76，85，82，80，77克，则这批零件重量的平均浮动范围是多少？
样品$\bar x=\cfrac {\sum _{i=1} ^n x_i} n=\cfrac {76+85+82+80+77} 5=80$克。
样品$s^2=\cfrac 1 n \sum _{i=1} ^n (x_i - \bar x)^2 = \cfrac {(76-80)^2 + (85-80)^2+(82-80)2 + (80-80)^2 + (77-80)^2} 5 = 10.8$克。
查卡方分布表可知，自由度$(n-1)=5-1=4$的卡方分布的95%命中区间满足：
$$
\begin{gather}
0.4844 \leq \cfrac {ns^2} {\sigma^2} \leq 11.1433 \
0.4844 \leq \cfrac {5 \times 10.8} {\sigma^2} \leq 11.1433 \
2.2 \leq \sigma \leq 10.6
\end{gather}
$$
结论为，这批零件重量平均浮动在2.2到10.6克之间，可信度为95%。

正态总体，未知总体方差，估计总体均值——t分布

在正态总体抽取的$n$个样本中，样本均值$\bar x$服从正态分布，样本方差$s^2$服从卡方分布，可以推导出统计量：
$$
t=\cfrac {标准正态分布 \times \sqrt {自由度 - 1}} {\sqrt {卡方分布}} = \cfrac {\cfrac {\bar x - \mu} {\cfrac \sigma {\sqrt n}} \cdot \sqrt {n-1}} {\sqrt {\cfrac {ns^2} {\sigma^2}}} = \cfrac {(\bar x - \mu) \sqrt {n-1}} s
$$
称为正态总体的样本均值$\bar x$的自由度$(n-1)$的t分布。

t分布是以0为中心，左右对称的一簇曲线。与正态曲线相比更缓和（即山顶略低，山脚略高），其形态变化与自由度$(n-1)$有关。自由度越小，曲线越低平；自由度越大，曲线越接近标准正态分布曲线。这说明，当$n$并不是足够大（小样本）的时候，t分布和标准正态分布的偏差不能被忽略。

例：取一批零件的6个样品，重量分别为76，85，82，83，76，78克，则这批零件平均重量是多少？
样品$\bar x=\cfrac {\sum _{i=1} ^n x_i} n=\cfrac {76+85+82+83+76+78} 6=80$克。
样品$s=\sqrt {\cfrac 1 n \sum _{i=1} ^n (x_i - \bar x)^2} = \sqrt {\cfrac {(76-80)^2 + (85-80)^2+(82-80)2 + (83-80)^2 + (76-80)^2 + (78-80)^2} 6} = 3.51$克。
查t分布表可知，自由度$(n-1)=6-1=5$的t分布的95%命中区间满足：
$$
\begin{gather}
-2.571 \leq \cfrac {(\bar x - \mu) \sqrt {n-1}} s \leq +2.571 \ -2.571 \leq \cfrac {(80 - \mu) \sqrt {6-1}} {3.51} \leq +2.571 \
75.964 \leq \mu \leq 80.036
\end{gather}
$$
结论为，这批零件平均重量在75.964到80.036克之间，可信度为95%。

本书信息

书名：你一定爱读的极简统计学：再精简下去，就不是统计学了
著者：小岛宽之
译者：孔霈
ISBN：978-7-5168-0451-3