1.3 浅层 logistic 神经网络
视频：第三周 浅层神经网络
整理：飞龙
普通的 logistic 可看做无隐层的神经网络。下面我们做出一个单隐层的神经网络，它本质上是 logistic 套着 logistic，所以也叫作多层 logistic。
我们的神经网络有三层，输入层，一个隐层，和输出层。输入层的每个节点对应训练集X的每个特征，节点数量就是特征数量。隐层的节点任意，这张图里面是四个。输出层只有一个节点，它就是我们的假设。
每个隐层节点，以及输出层节点中，都要执行上一节的 logistic 运算。
上一节中，我们已经推导了向量化的公式。为了简便起见，我们直接用向量化的公式起步。
我们引入一种的表达方式，用 $Z^{[1]}_j$ 表示隐层第j个节点里面的值。用 $Z^{[2]}$ 表示输出层里面的值，因为只有一个节点，就不加下标了。
在每个隐层节点中，我们有：
$$
Z^{[1]}_j = X \theta^{[1]}_j \\
A^{[1]}_j = \sigma(Z^{[1]}_j)
$$
注：
我这里的 $X$ 仍然是行为样本，列为特征。如果你的 $X$ 是我这里的转置，记得把其它的量也加上转置。
然后，我们尝试进一步使其向量化。
$$
\Theta^{[1]} = \begin{bmatrix} & | & \\ \cdots & \theta^{[1]}_j & \cdots \\ & | & \end{bmatrix} \\
$$
我们把 $\theta^{[1]}_j$ 按列堆叠，得到 $\Theta^{[1]}$。由于 $\theta^{[1]}_j$ 是矩阵乘法的右边，它乘以 $X$ 会得到按列堆叠的 $Z^{[1]}_j$。
$$
Z^{[1]} = X\Theta^{[1]} = \begin{bmatrix} & | & \\ \cdots & Z^{[1]}_j & \cdots \\ & | & \end{bmatrix} \\
$$
$A^{[1]}$ 就是对 $Z^{[1]}$ 的每个元素应用 sigmoid 函数，所以是一样的结构。
$$
A^{[1]} = \sigma(Z^{[1]}) = \begin{bmatrix} & | & \\ \cdots & A^{[1]}_j & \cdots \\ & | & \end{bmatrix} \\
$$
在神经网络中，sigmoid 函数叫做激活函数，$A^{[1]}$ 叫做激活值。每个节点的激活值提供给下一层，作为下一层的特征。
也就是说：
$$
Z^{[2]} = A{[1]}\theta{[2]} \\
A^{[2]} = \sigma(Z^{[2]})
$$
$A^{[2]}$ 就是我们的假设，它等于样本属于正向分类的概率。
成本函数 $J$ 的计算也类似。
$$
J = - Sum(Y \ast \log(A^{[2]}) + (1-Y) \ast \log(1-(A^{[2]}))
$$
计算图
由于目前为止的量有点多，我们需要画出它们的关系图。
X-----------Z^[1]----A^[1]-------Z^[2]----A^[2]---J
| | |
Theta^[1]---+ theta^[2]---+ Y-------+
然后我们统计一下这些量的尺寸信息。
| 量 | 尺寸 |
|---|---|
| $X$ | n_data x n_features |
| $\Theta^{[1]}$ | n_features x n_hidden_nodes |
| $Z^{[1]}$ $A^{[1]}$ | n_data x n_hidden_nodes |
| $\theta^{[2]}$ | n_hidden_nodes x 1 |
| $Z^{[2]}$ $A^{[2]}$ | n_data x 1 |
这个很重要，以后有用。
反向传播
神经网络中的求导过程又叫做反向传播，只是一个新名词，没什么特别的。
我们这里待定的量变成了两个：$\Theta^{[1]}$ 和 $\theta^{[2]}$。
首先，$J$ 和 $\theta^{[2]}$ 的关系，类似于 logistic 里面它和 $\theta$ 的关系。我们可以直接得出：
$$
\frac{dJ}{d\theta^{[2]}} = A{[1]T}(A{[2]} - Y)
$$
下面求 $\frac{dJ}{d\Theta^{[1]}}$。从 $J$ 到 $\Theta^{[1]}$ 路径上的所有导数都需要求出来。首先我们得出：
$$
\frac{dJ}{dZ^{[2]}} = A^{[2]} - Y
$$
然后：
$$
\frac{dZ{[2]}}{dA{[1]}} = \theta^{[2]T}
$$
这个导数与 $A^{[1]}$ 同型，只有我们将 $\theta^{[2]}$ 转置过来，再广播成n_data x n_hidden_nodes，它才同型。
$$
\frac{dJ}{dA^{[1]}} = \frac{dJ}{dZ{[2]}}\theta{[2]T}
$$
我们发现，左边的导数是n_data x n_hidden_nodes的，右边的两个导数分别是n_data x 1和1 x n_hidden_nodes的，所以用矩阵乘法。
$$
\frac{dA{[1]}}{dZ{[1]}} = A^{[1]} \ast (1-A^{[1]}) \\
\frac{dJ}{dZ^{[1]}} = \frac{dJ}{dA^{[1]}} \ast A^{[1]} \ast (1-A^{[1]})
$$
我们发现，左边的导数是n_data x n_hidden_nodes的，右边的两个导数也是，所以用逐元素乘法。这个规律在反向传播中十分重要。
最后一步和 logistic 中的情况相似，所以照搬。
$$
\frac{dJ}{d\Theta^{[1]}} = X^T \frac{dJ}{dZ^{[1]}}
$$
最后别忘了对两个导数除以 $n_data$。
代码
Theta_sup1 = np.random.rand(n_features, n_hidden_nodes) / 100
theta_sup2 = np.random.rand(n_hidden_nodes, 1) / 100
for _ in range(max_iter):
# 正向传播过程
Z_sup1 = np.dot(X, Theta_sup1)
A_sup1 = sigmoid(Z_sup1)
Z_sup2 = np.dot(A_sup1, theta_sup2)
A_sup2 = sigmoid(Z_sup2)
# 反向传播过程
dJ_dZ_sup2 = (A_sup2 - Y) / n_data
dJ_dtheta_sup2 = np.dot(A_sup1.T, dJ_dZ_sup2)
dZ_sup2_dA_sup1 = theta_sup2.T
dA_sup1_dZ_sup1 = A_sup1 * (1 - A_sup1)
dJ_dZ_sup1 = np.dot(dJ_dZ_sup2, dZ_sup2_dA_sup1) * dA_sup1_dZ_sup1
dJ_dTheta_sup1 = np.dot(X.T, dJ_dZ_sup1)
Theta_sup1 -= alpha * dJ_dTheta_sup1
theta_sup2 -= alpha * dJ_dtheta_sup2
