22、HZ 共轭梯度法

本文将在 DL 共轭梯度法的基础上，介绍 HZ 共轭梯度法。这是由 Hanger-Zhang 于 2005 年提出的一种非常经典的共轭梯度法。我们所创新的共轭梯度法都会于 HZ 共轭梯度法进行数值实验对比，所以 HZ 的理论分析就显得尤为重要了。

1、介绍

我们的问题是处理一个 $~n~$ 维变量问题
$\min~f(x),~~x\in\mathbb{R}^n\tag{1}$
其中 $~f~$ 是光滑的且 $~\nabla~f~$ 是可以得到的。共轭梯度法是非常有用的处理问题 $~(1)~$ 当 $~n~$ 非常大时，其有如下形式：
$x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k,\tag{2}$
$d_k=\begin{cases} -g_k,\quad & k=1,\\ -g_k+\beta_k d_{k-1}, &k\ge 2,\end{cases}\tag{3}$
Hanger-Zhang 提出如下参数 $~\beta_k~$
$\beta_k^{HZ}=\frac{g_k^T(y_{k-1}-2d_{k-1}\frac{\Vert y_{k-1}\Vert^2}{d_{k-1}^Ty_{k-1}})}{d_{k-1}y_{k-1}}\tag{4}$
为建立对一般函数的收敛性理论，我们取
$\overline{\beta_k}^{HZ}=\max\left\{\beta_k^{HZ},\eta_k\right\}\tag{5}$
$\eta_k=\frac{-1}{\Vert d_k\Vert\min\left\{\eta,\Vert g_{k-1}\Vert\right\}}\tag{6}$
其中 $~\eta>0~$ 为常数

2、一般性分析

定理 1：若假定 $~d_{k-1}^T y_{k-1}\neq 0~$ 和
$d_k=-g_k+\tau d_{k-1},~~~d_1=-g_1\tag{7}$
其中 $~\tau\in[\beta_k^{HZ},\max\left\{\beta_k^{HZ},0\right\}]~$ ，则有
$g_k^T d_k\le-\frac{7}{8}\Vert g_k\Vert^2\tag{8}$
证明：因为 $~d_1=-g_1~$ ，故 $~(8)~$ 式显然成立。假定 $~\tau=\beta_k^{HZ}~$ ，利用 $~(7)~$ 式，有
$\begin{align}g_k^T d_k&=-\Vert g_k\Vert^2+\beta_k^{HZ}d_{k-1}\\ &=-\Vert g_k\Vert^2+g_k^T d_{k-1}(\frac{g_k^T y_{k-1}}{d_{k-1}^Ty_{k-1}}-2\frac{g_k^T d_{k-1}\Vert y_{k-1}\Vert^2}{(d_{k-1}^T y_{k-1})^2})\\ &=\frac{-\Vert g_k\Vert^2(d_{k-1}^T y_{k-1})^2+g_k^T d_{k-1}d_{k-1}^T y_{k-1}g_k^T y_{k-1}-2(g_k^T d_{k-1})^2\Vert y_{k-1}\Vert^2}{(d_{k-1}^T y_{k-1})^2}\tag{9}\end{align}$
我们应用不等式
$u^T v\le\frac{1}{2}(\Vert u\Vert^2+\Vert v\Vert^2)\tag{10}$
在 $~(9)~$ 中应用
$u=\frac{1}{2}(d_{k-1}^T y_{k-1})g_k,~~和~~v=2(g_k^T d_{k-1})y_{k-1}\tag{11}$
所以 $~(8)~$ 式成立。如果 $~\tau\neq \beta_k^{HZ}~$ ，则 $~\beta_k^{HZ}\le\tau\le 0~$ ，利用 $~(7)~$ 式，有
$g_k^T d_k=-\Vert g_k\Vert^2+\tau g_k^T d_{k-1}\tag{12}$
若 $~g_k^T d_{k-1}\ge 0~$ ， $(8)~$ 式显然成立。如果 $~g_k^T d_{k-1}<0~$ ，则
$g_k^T d_k=-\Vert g_k\Vert^2+\tau g_k^Td_{k-1}\le -\Vert g_k\Vert^2+\beta_k^{HZ}g_k^T d_{k-1}\tag{13}$
因为 $~\beta_k^{HZ}\le\tau\le 0~$ 。因此， $(8)~$ 式也成立。证明完毕。
根据 $~(6)~$ 式， $\eta_k~$ 的非负的，且
$\overline{\beta}_k=\left\{\beta_k^N,\eta_k\right\}\in [\beta_k^N,\max \left\{\beta_k^N,0\right\}]\tag{14}$
因此，由 $~(5)~$ 和 $~(6)~$ 式给出的方向为充分下降方向。

3、一致凸函数的收敛性分析

尽管由 HZ 共轭梯度法形成的方向一定是充分下降方向，但是我们还是需要考虑线搜索建立全局收敛性。我们考虑 $~\rm{Goldstein}~$ 条件
$\delta_1\alpha_k g_k^T d_k\le f(x_k+\alpha_k d_k)-f(x_k)\le \delta_2\alpha_k g_k^T d_k\tag{15}$
其中 $~0<\delta_2<\frac{1}{2}<\delta_1<1~$ 和 $~\alpha_k>0~$ ，或者考虑 $~\rm{Wolfe}~$ 线搜索
$f(x_k+\alpha_k d_k)-f(x_k)\le \delta\alpha_k g_k^T d_k\tag{16}$
$g(x_k+\alpha_k d_k)^T d_k\ge\sigma g_k^T d_k\tag{17}$
其中 $~0<\delta\le\sigma<1~$ ，这里我们并不需要强 $~Wolfe~$ 线搜索就可建立全局收敛性。

定理 2：如果 $~d_k~$ 是下降方向和 $~\nabla f(x)~$ 满足 $~\rm{Lipschitz}~$ 连续
$\Vert \nabla f(x)-\nabla f(y)\Vert\le L\Vert x-y\Vert\tag{18}$
其中 $~\rm{L>0}~$ 为常数，如果线搜索满足 $~\rm{Goldstein}~$ 条件，则
$\alpha_k\ge\frac{1-\sigma_1}{L}\frac{\vert g_k^T d_k\vert}{\Vert d_k\Vert^2}\tag{19}$
如果线搜索满足 $~\rm{Wolfe}~$ 条件，则
$\alpha_k\ge \frac{1-\sigma}{L}\frac{\vert g_k^T d_k\vert}{\Vert d_k\Vert^2}\tag{20}$
证明：对 $~(15)~$ 式利用中值定理和 $~\rm{Lipschitz}~$ 连续
$\begin{align}\delta_1\alpha_k g_k^T d_k&\le f(x_k+\alpha_k d_k)-f(x_k)\\ &=\alpha_k\nabla f(x_k+t\alpha_k d_k)\\ &\le\alpha_k g_k^T d_k+L\alpha_k^2\Vert d_k\Vert^2\end{align}\tag{21}$
其中 $~t\in (0,1)~$ ，很容易推出 $~(19)~$ 。
对 $~(17)~$ 利用 $~\rm{Lipschitz}~$ 连续，有
$(\sigma-1)g_k^T d_k\le (g_{k+1}-g_k)^T d_k\le\alpha_k L\Vert d_k\Vert^2\tag{22}$
因为 $~d_k~$ 是下降方向且 $~\sigma<1~$ ，故 $~(20)~$ 成立。

定理 3：假定 $~f~$ 在水平集上为一致凸函数和满足 $~\rm{Lipschitz}~$ 连续，水平集定义为
$\Omega=\left\{x\in\mathbb{R}^n:f(x)\le f(x_1)\right\}\tag{23}$
即存在 $~L>0~$ 和 $~u>0~$ 使得
$\Vert \nabla f(x)-\nabla f(y)\Vert\le L\Vert x-y\Vert\tag{24}$
$u\Vert x-y\Vert^2\le(\nabla f(x)-\nabla f(y))(x-y)\tag{25}$
对任何 $~x,y\in\Omega~$ 都成立。如果共轭梯度法 $~(2)-(4)~$ 使用线搜索满足 $~\rm{Wolfe}~$ 或者 $~\rm{Goldstein}~$ 线搜索，则要么对某个 $~k~$ 有 $~g_k=0~$ 或者
$\lim_{k\rightarrow\infty} g_k=0\tag{26}$
证明：假定对所有的 $~k~$ 都有 $~g_k\neq 0~$ ，利用强收敛性假定
$d_{k-1}^T y_{k-1}=d_{k-1}^T(g_k-g_{k-1})\ge u\alpha_{k-1}\Vert d_{k-1}\Vert^2\tag{27}$
利用 定理 1 假定 $~g_k\neq 0~$ 暗示 $~d_k\neq 0~$ ，因为 $~\alpha_k>0~$ ，利用 $~(27)~$ 知道 $~d_{k-1}^T y_{k-1}>0~$ 。因为 $~f~$ 在水平集 $~\Omega~$ 上是有界的。则
$\sum_{k=1}^{\infty}-\alpha_k g_k^T d_k\le\infty\tag{28}$
结合 定理 1 和 定理 2，我们有
$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Vert g_k\Vert^4}{\Vert d_k\Vert^2}<\infty\tag{29}$
利用 $~\rm{Lipschitz}~$ 条件 $~(18)~$ ，有
$\Vert y_{k-1}\Vert\le\Vert g_k-g_{k-1}\Vert\le L\alpha_{k-1}\Vert d_{k-1}\Vert\tag{30}$
利用 $~(4),(27),(30)~$ 有
$\begin{align}\vert\beta_k^{HZ}\vert&=\vert \frac{g_k^T y_{k-1}}{d_{k-1}y_{k-1}}-2\frac{\Vert y_{k-1}\Vert^2g_k^T d_{k-1}}{(d_{k-1}^T y_{k-1})^2}\vert\\ &\le\frac{\Vert y_{k-1}\Vert\Vert g_k\Vert}{u\alpha_{k-1}\Vert d_{k-1}\Vert^2}+2\frac{\Vert y_{k-1}\Vert^2\Vert g_k\Vert\Vert d_{k-1}\Vert}{u^2\alpha_{k-1}^2\Vert d_{k-1}\Vert^4}\\ &\le\frac{L\alpha_{k-1}\Vert g_k\Vert\Vert d_{k-1}\Vert}{u\alpha_{k-1}\Vert d_{k-1}\Vert^2}+2\frac{L^2\alpha_{k-1}^2\Vert d_{k-1}\Vert^2\Vert g_k\Vert}{u^2\alpha_{k-1}^2\Vert d_{k-1}\Vert^4}\\ &\le(\frac{L}{u}+\frac{2L^2}{u^2})\frac{\Vert g_k\Vert}{\Vert d_{k-1}\Vert} \end{align}\tag{31}$
因此，我们有
$\begin{align}\Vert d_k\Vert&\le\Vert g_k\Vert+\vert \beta_k^{HZ}\vert\Vert d_{k-1}\Vert\\ &\le(1+\frac{L}{u}+\frac{2L^2}{u^2})\Vert g_k\Vert\end{align}\tag{32}$
由 $~(32)~$ 可以看出 $~\Vert d_k\Vert~$ 有上界，利用 $~(29)~$ 式，有
$\sum_{k=1}^{\infty}\Vert g_k\Vert^2<\infty\tag{33}$
从而 $~(26)~$ 式成立。

4、一般函数的收敛性分析

定理 4：若水平集 $~(23)~$ 有界和 $~\rm{Lipschitz}~$ 连续 $~(24)~$ 成立，如果共轭梯度法 $~(2)-(6)~$ 选择 $~\rm{Wolfe}~$ 线搜索 $~(16)~$ 和 $~(17)~$ ，则有
$d_k\neq 0,~~\forall~k\ge 1\tag{34}$
和
$\sum_{k=1}^{\infty}\Vert u_{k+1}-u_k\Vert^2<\infty\tag{35}$
其中 $~u_k=\frac{d_k}{\Vert d_k\Vert}~$ 而且假定 $~\Vert g_k\Vert\ge\gamma>0~$ 。
证明：利用假定和下降条件，可知 $~(34)~$ 成立。且利用充分下降条件 $~(8)~$ 和 $~\rm{Zoutendijk}~$ 条件 $~(29)~$ ，有
$\gamma^4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\Vert d_k\Vert^2}\le\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Vert g_k\Vert^4}{\Vert d_k\Vert^2}\le\frac{49}{64}\sum_{k\ge 1}^{\infty}\frac{(g_k^T d_k)^2}{\Vert d_k\Vert^2}<\infty\tag{36}$
定义等式
$\beta_k^+=\max\left\{\overline{\beta}_k^{HZ},0\right\},~~\beta_k^+=\min\left\{\overline{\beta}_k^{HZ},0\right\}\tag{37}$
$r_k=\frac{-g_k+\beta_k^-d_{k-1}}{\Vert d_k\Vert},~~\delta_k=\beta_k^+\frac{\Vert d_{k-1}\Vert}{\Vert d_k\Vert}\tag{38}$
根据 $~(3)~$ 和 $~(5),(6)~$ 的定义
$u_k=\frac{d_k}{\Vert d_k\Vert}=\frac{-g_k+(\beta_k^++\beta_k^-)d_{k-1}}{\Vert d_k\Vert}=r_k+\delta_k u_{k-1}\tag{39}$
因为 $~u_k~$ 是单位向量，故有
$\Vert r_k\Vert=\Vert u_k-\delta_k u_{k-1}\Vert=\Vert \delta_k u_k-u_{k-1}\Vert\tag{40}$
由于 $~\delta_k>0~$ ，则
$\begin{align}\Vert u_k-u_{k-1}\Vert &\le\Vert (1+\delta_k)(u_k-u_{k-1})\Vert\\ &\le\Vert u_k-\delta_ku_{k-1}\Vert+\Vert \delta_k u_k-u_{k-1}\Vert\\ &=2\Vert r_k\Vert\end{align}\tag{41}$
根据 $~\beta_k^-~$ 的定义和 $~\eta_k<0~$ 以及 $~(5)~$ 式中 $~\overline{\beta}_k^{HZ}\ge\eta_k~$ ，我们可以得到 $~r_k~$ 的分子有界。
$\begin{align}\Vert -g_k+\beta_k^- d_{k-1}\Vert&\le\Vert g_k\Vert-\min\left\{\overline{\beta_k}^{HZ},0\right\}\Vert d_{k-1}\Vert\\ &\le\Vert g_k\Vert-\eta_{k-1}\Vert d_{k-1}\Vert\\ &\le\Vert g_k\Vert+\frac{1}{\Vert d_{k-1}\Vert\min\left\{\eta,\gamma\right\}}\Vert d_{k-1}\Vert\\ &\le\overline{\gamma}+\frac{1}{\min\left\{\eta,\gamma\right\}}\end{align}\tag{42}$
其中
$\overline{\gamma}=\max_{x\in \Omega}\Vert \nabla f(x)\Vert\tag{43}$
我们令 $~c=\overline{\gamma}+\frac{1}{\min\left\{\eta,\gamma\right\}}~$ ，利用 $~(41)~$ ，则有
$\Vert u_k-u_{k-1}\Vert\le 2\Vert r_k\Vert\le\frac{2c}{\Vert d_k\Vert}\tag{44}$
利用 $~(36)~$ 和 $~(44)~$ 式，则命题得证。

定理 5：若水平集 $~(23)~$ 有界和 $~\rm{Lipschitz}~$ 连续 $~(24)~$ 成立，如果共轭梯度法 $~(2)-(6)~$ 选择 $~\rm{Wolfe}~$ 线搜索 $~(16)~$ 和 $~(17)~$ ，则或者对某个 $~k~$ 使得 $~g_k=0~$ ，或者
$\lim\inf\Vert g_k\Vert=0\tag{45}$
证明：我们首先假定
$\Vert g_k\Vert\ge\gamma>0\tag{46}$
否则，稳定点已经得到。下面的证明分为三步

(i)： $~\overline{\beta}_k^{HZ}~$ 有界
通过 $~\rm{Wolfe}~$ 线搜索 $~(17)~$ 可知 $~g_{k+1}^T d_k\ge\sigma g_k^T d_k~$ ，我们有
$d_{k-1}^T y_{k-1}=(g_k-g_{k-1})^T d_{k-1}\ge (\sigma-1)g_{k-1}^T d_{k-1}=-(1-\sigma)g_{k-1}^T d_{k-1}\tag{47}$
由 定理 1 和 $~(46)~$ 可知
$-g_k^T d_k\ge\frac{7}{8}\Vert g_k\Vert^2\ge\frac{7}{8}\gamma^2\tag{48}$
结合 $~(47)~$ 和 $~(48)~$ 有
$d_{k-1}^T y_{k-1}\ge (1-\sigma)\frac{7}{8}\gamma^2\tag{49}$
一方面，有
$g_k^T d_{k-1}=d_{k-1}^T y_{k-1}+g_{k-1}^T d_{k-1}<d_{k-1}^T y_{k-1}\tag{50}$
另一方面，利用 $~\rm{Wolfe}~$ 线搜索知
$g_k^T d_{k-1}\ge\sigma g_{k-1}^T d_{k-1}=-\sigma d_{k-1}^T y_{k-1}+\sigma g_k^T d_{k-1}\tag{51}$
因为 $~\sigma<1~$ ，结合 $~(51)~$ 有
$g_k^T d_{k-1}\ge\frac{-\sigma}{1-\sigma}d_{k-1}^T y_{k-1}\tag{52}$
利用 $~(50)~$ 和 $~(52)~$ 有
$\vert\frac{g_k^T d_{k-1}}{d_{k-1}^T y_{k-1}}\vert\le\max\left\{\frac{\sigma}{1-\sigma},1\right\}\tag{53}$
通过 $~(5)~$ 式中 $~\beta_k^{HZ}~$ 的定义，有
$\overline{\beta}_k^{HZ}=\beta_k^{HZ},~如果~\beta_k^{HZ}\ge 0$
$0\ge\overline{\beta}_k^{HZ}\ge\beta_k^{HZ},~~如果~\beta_k^{HZ}< 0$
因此 $~\vert \overline{\beta}_k^{HZ}\vert\le\vert\beta_k^{HZ}\vert~$ 对任意的 $~k~$ 都成立，利用 $~(30),(47),(53)~$ 以及上面的分析，有
$\begin{align}\vert\overline{\beta}_k^{HZ}\vert&\le\vert \beta_k^{HZ}\vert\\ &\le\frac{1}{d_{k-1}^T y_{k-1}}(\vert g_k^T y_{k-1}\vert+2\Vert y_{k-1}\Vert^2\frac{\vert g_k^T d_{k-1}\vert}{\vert d_{k-1}^T y_{k-1}\vert})\\ &\le\frac{8}{7}\frac{1}{(1-\sigma)\gamma^2}(L\overline{\gamma}\Vert s_{k-1}\Vert+2\overline{\gamma}^2\Vert s_{k-1}\Vert^2\max\left\{\frac{\sigma}{1-\sigma},1\right\})\\ &\le C\Vert s_{k-1}\Vert \end{align}\tag{54}$
其中
$C=\frac{8}{7}\frac{1}{(1-\sigma)}(L\overline{\gamma}+2L^2D\max\left\{\frac{\sigma}{1-\sigma},1\right\})\tag{55}$
$D=\max\left\{\Vert y-z\Vert:x,y\in\Omega \right\}\tag{56}$
(ii)：步长 $~s_k~$ 的界
对于任意的 $~l>k~$ ，有
$x_l-x_k=\sum_{j=k}^{l-1}x_{j+1}-x_j=\sum_{j=k}^l\Vert s_j\Vert u_j=\sum_{j=k}^{l-1}\Vert s_j\Vert u_k+\sum_{j=k}^{l-1}\Vert s_j\Vert(u_j-u_k)\tag{57}$
利用三角不等式
$\sum_{j=k}^{l-1}\Vert s_j\Vert\le\Vert x_l-x_{k+1}\Vert+\sum_{j=k}^{l-1}\Vert s_j\Vert\Vert u_j-u_i\Vert\le D+\sum_{j=k}^{l-1}\Vert u_j-u_k\Vert\tag{58}$
选择正整数 $~\triangle~$ ，使其充分大
$\triangle\ge 4 C D\tag{59}$
其中 $~C,D~$ 为 $~(55)~$ 和 $~(56)~$ 中的定义，选择充分大的 $~k_0~$ 使其满足
$\sum_{i\ge k_0}\Vert u_{i+1}-u_i\Vert^2\le\frac{1}{4\triangle}\tag{60}$
如果 $~j>k\ge k_0~$ 和 $~j-k\le\triangle~$ ，则
$\begin{align}\Vert u_j-u_k\Vert&\le\sum_{i=k}^{j-1}\Vert u_{i+1}-u_i\Vert\\ &\sqrt{j-k}(\sum_{i=k}^{j=1}\Vert u_{i+1}-u_i\Vert^2)^{\frac{1}{2}}\\ &\le\sqrt{\triangle}(\frac{1}{4\triangle})^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\end{align}\tag{61}$
结合 $~(58)~$ 有
$\sum_{j=k}^{l-1}\Vert s_j\Vert\le 2D\tag{62}$
其中 $~l>k\ge k_0~$ 且 $~l-k\le\triangle~$ 。

(III)、证明 $~d_l~$ 有界
证明略，本人也没有看的太懂，只是其实可以参考 PRP 或者 DL 的证明，也没有必要这么证明，所以就不想看了。不管怎样，Hanger-Zhang 共轭梯度法还是非常经典的共轭梯度法。

5、参考文献

[1] Hager W W, Zhang H C. A new conjugate gradient method with guaranteed descent and an efficient line search, SIAM Journal on Optimization, 2005, 1(16) : 170-192.

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