KS test 是一非参数检验，用于检验某一个样本是否来自于某一特定分布，或者比较两个样本是否来自于相同的分布。这里我们先介绍检验样本是否来自于某一分布的KS检验，假设我们的样本为
, ... , 
，要检验的分布函数为)
, null hypothesis为 X来自于分布.
在介绍KS检验之前，我们需要几点预备知识：
1. random step function
设
, ... , 
为 i.i.d 的random variable，均值为0，方差为1. 对于每一个n， 我们定义如下的连续时间随机过程：
![W_{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{1 \leq k \leq [nt]} \xi _{k}](https://math.jianshu.com/math?formula=W_%7Bn%7D(t)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D%20%5Csum_%7B1%20%5Cleq%20k%20%5Cleq%20%5Bnt%5D%7D%20%5Cxi%20_%7Bk%7D%20)
, ![t \in [0,1]](https://math.jianshu.com/math?formula=t%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D)
.
)
被称作random step function.
（random step function有一些性质，比如说，对于足够大的n,
，根据中心极限定理，%20-%20W_%7Bn%7D(s))
接近于分布)
; 当n趋向于无穷大时，Donsker's theorem表明接近Wiener process,记为
,是一均值为0方差为t的正态分布，Norbert Wiener在研究一维 Brownian motion的一些性质的时候发现的）
2. Brownian bridge
设为一标准 Wiener process，则定义Brownian bridge为：
%20%3D%20W(t)%20-%20%5Cfrac%7Bt%7D%7BT%7D%20%20W(T))
, ![t \in [0,T]](https://math.jianshu.com/math?formula=t%20%5Cin%20%5B0%2CT%5D)
(Brownian bridge有一些性质，如可以证明)
与)
相互独立。其均值为0，方差为%20%7D%7BT%7D%20)
)
接下来介绍KS test的内容。
n个相互独立的随机样本 , ... ,，其经验分布函数为:
![F_{n}(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{[-∞,x]} (X_{i} )](https://math.jianshu.com/math?formula=F_%7Bn%7D(x)%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%20%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20I_%7B%5B-%E2%88%9E%2Cx%5D%7D%20(X_%7Bi%7D%20)%20)
, 其中 ![I_{[-∞,x]}(X_i)](https://math.jianshu.com/math?formula=I_%7B%5B-%E2%88%9E%2Cx%5D%7D(X_i)%20)
为indicator function，等于1 if 
，等于0 otherwise.
构造Kolmogorov-Smirnov统计量 %20-%20F(x)%7C%20)
.(根据Glivenko-Canteli theorem, 若样本来自于分布 ,则当n趋向于无穷大时，
应该almost surely收敛到0)
下一步是构造服从Kolmogorov distribution的随机变量 K，定义：
![K = \sup_{t \in [0,1]} |B(t)|](https://math.jianshu.com/math?formula=K%20%3D%20%5Csup_%7Bt%20%5Cin%20%5B0%2C1%5D%7D%20%7CB(t)%7C)
，其中为Brownian bridge.
根据Kolmogorov theorem， )%7C)
as 
. 取
为一实数使得 %20%3D%201-%20%5Calpha)
,则，若 
,以 level 
拒绝null hypothesis。
此检验在R等软件中都有运算包，可以直接使用。
